Exercice 2 (4 points)

Commun à tous les candidats

Un navigateur s'entraîne régulièrement dans le but de battre le record du monde de traversée de l'Atlantique à la voile.

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième si nécessaire.

Pour tous événements $A$ et $B$, on note $\overline{A}$ l'événement contraire de $A$, $P(A)$ la probabilité de $A$ et si $B$ est de probabilité non nulle, $P_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant $B$.

Partie A

Le navigateur décide de modéliser la durée de sa traversée en jour par une loi normale de paramètres $\mu = 7$ et $\sigma= 1$.

1. Quelle est la probabilité que le navigateur termine sa course entre $5$ et $8$ jours après le départ ?

2. Dans sa catégorie de voilier, le record du monde actuel est de $5$ jours. Quelle est la probabilité que le navigateur batte le record du monde ?

Partie B

Une entreprise nommée « Régate », s'intéresse aux résultats de ce navigateur.

La probabilité qu'il réalise la traversée en moins de 6 jours est de 0,16.

Si le navigateur réalise la traversée en moins de 6 jours, l'entreprise le sponsorise avec une probabilité de 0,95.

Sinon, l'entreprise hésite et le sponsorise avec une probabilité de 0,50.

On note :

• $M$ l'événement « la traversée est réalisée par le navigateur en moins de 6 jours » ;

• $F$ l'événement « l'entreprise sponsorise le navigateur ».

1. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.

2. Montrer que la probabilité que l'entreprise ne sponsorise pas le navigateur à la prochaine course est $0,428$.

3. L'entreprise a finalement choisi de ne pas financer le navigateur.
   Calculer la probabilité que le navigateur ait tout de même réalisé la traversée en moins de $6$ jours.

Partie C

L'entreprise « Régate » sponsorise plusieurs catégories de sportifs dans le monde nautique.

Ces derniers doivent afficher le slogan « Avec Régate. j'ai 97 % de chance d'être sur le podium! ».

L'étude des résultats sportifs de l'année a révélé que, parmi $280$ sportifs de chez « Régate », $263$ sont montés sur le podium. Que penser du slogan ?