Exercice 4 (6 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur [0 ; 25] par :

où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

On a représenté également sa tangente $T$ au point A(0 ;  -7). $T$ passe par le point B(2 ; 14,2).

1. Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 6$.

2. 1. Déterminer, par un calcul. le coefficient directeur de la droite $T$.

   2. Exprimer, pour tout $x \in [0~;~25]$,  $f^{\prime}(x)$ en fonction de $a$ et $b$.

   3. Montrer que $a$ et $b$ sont solutions du système

      $\left\{\begin{array}{r c r} a - 0,2b&=&3,6 \\ b&=&7 \end{array}\right.$

      En déduire la valeur de $a$.

Partie B

1. Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur [0 ; 25] par

   $f(x) = (5x + 7)\text{e}^{ - 0,2x}.$

   Justifier.

2. Montrer que l'équation $f(x) = 6$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0 ; 25].

   Donner une valeur approchée au dixième de $\alpha$.

3. Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant.

   

   Exploiter ce résultat pour donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au millième de $\displaystyle\int_0^{25} f(x)\:\text{d}x$.

Partie C

Un organisme de vacances souhaite ouvrir un nouveau centre avec une piscine bordée de sable. Il dispose d'un espace rectangulaire de $25$ mètres de longueur sur $14$ mètres de largeur et souhaite que la piscine et la « plage » se partagent l'espace comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

La bordure est modélisée par la fonction $f$ étudiée dans la partie précédente.

1. Quelle est l'aire en m$^2$ de la zone hachurée représentant la piscine ?

2. L'organisme décide de remplacer cette piscine par une piscine rectangulaire de 25 mètres de longueur et de même superficie.

   Quelle en sera la largeur arrondie au dixième de mètre ?