Exercice corrigéa et b sont 2 nombres réels strictement positifs tels que a < b.
Pour chacune des inégalités suivantes, dire si elle est vraie, fausse ou si on ne peut pas conclure.
- a^{2} < b^{2}
- \frac{1}{a} < \frac{1}{b}
- \sqrt{a} < \sqrt{b}
- a^{3} < b^{3}
- \sqrt{a^{2}+1} < \sqrt{b^{2}+1}
Corrigé
- Vrai car la fonction carrée est strictement croissante sur \left[0;+\infty \right[.
- Faux car la fonction inverse est strictement décroissante sur \left]0;+\infty \right[.
- Vrai car la fonction racine carrée est strictement croissante sur \left[0;+\infty \right[.
- Vrai car la fonction cube est strictement croissante \mathbb{R} (donc sur \left]0;+\infty \right[).
- Vrai
a < b \Rightarrow a^{2} < b^{2} car la fonction carrée est strictement croissante sur \left[0;+\infty \right[
\phantom{a < b} \Rightarrow a^{2}+1 < b^{2}+1 car on a ajouté le même nombre à chaque membre
\phantom{a < b} \Rightarrow \sqrt{a^{2}+1} < \sqrt{b^{2}+1} car a^{2}+1 et b^{2}+1 sont positifs et la fonction racine carrée est strictement croissante sur \left[0;+\infty \right[.
