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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonctions associées : Etude d'une fonction

[Pour cet exercice, on suppose que le chapitre Dérivées n'a pas encore été étudié et on n'utilisera pas cette notion]

Soit gg la fonction définie sur ];1[]1;+[\left] - \infty ; 1\right[ \cup \left]1 ; +\infty \right[ par :

g(x)=2x1g\left(x\right)=\frac{2}{x - 1}

  1. A partir des variations de la fonction x1xx \mapsto \frac{1}{x}, déduire les variations de la fonction gg. Tracez le tableau de variations de gg.

  2. Soit ff la fonction définie sur ];1[]1;+[\left] - \infty ; 1\right[ \cup \left]1 ; +\infty \right[ par f(x)=x2+3xx1f\left(x\right)=\frac{ - x^{2}+3x}{x - 1}.

    Montrer que pour tout réel x];1[]1;+[x \in \left] - \infty ; 1\right[ \cup \left]1 ; +\infty \right[ :

    f(x)=x+2+2x1f\left(x\right)= - x+2+\frac{2}{x - 1}

  3. Déduire des questions précédentes le tableau de variations de ff.

  4. Soit CfC_{f} la courbe représentative de ff dans un repère orthonormé (O,I,J)\left(O, I, J\right).

    Trouver les coordonnées des points d'intersection de CfC_{f} avec l'axe des abscisses et avec l'axe des ordonnées.

  5. Préciser la position de la courbe CfC_{f} par rapport à l'axe des ordonnées.

  6. Soit D\mathscr D la droite d'équation y=x+2y= - x+2 Étudier la position de la courbe CfC_{f} par rapport à la droite D\mathscr D.

  7. Tracer D\mathscr D et CfC_{f} dans le repère orthonormé (O,I,J)\left(O, I, J\right).