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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Sens de variation et comparaisons

aa et bb sont 2 nombres réels strictement positifs tels que a<ba < b.

Pour chacune des inégalités suivantes, dire si elle est vraie, fausse ou si on ne peut pas conclure.

  1. a2<b2a^{2} < b^{2}

  2. 1a<1b\frac{1}{a} < \frac{1}{b}

  3. a<b\sqrt{a} < \sqrt{b}

  4. ∣a∣<∣b∣ |a| < |b|

  5. a2+1<b2+1\sqrt{a^{2}+1} < \sqrt{b^{2}+1}

Corrigé

  1. Vrai car la fonction carrée est strictement croissante sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[.

  2. Faux car la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.

  3. Vrai car la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[.

  4. Vrai car la fonction valeur absolue est strictement croissante sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[.

  5. Vrai

    a<b⇒a2<b2a < b \Rightarrow a^{2} < b^{2} car la fonction carrée est strictement croissante sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[

    a<b⇒a2+1<b2+1\phantom{a < b} \Rightarrow a^{2}+1 < b^{2}+1 car on a ajouté le même nombre à chaque membre

    a<b⇒a2+1<b2+1\phantom{a < b} \Rightarrow \sqrt{a^{2}+1} < \sqrt{b^{2}+1} car a2+1a^{2}+1 et b2+1b^{2}+1 sont positifs et la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[.

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