I - Rappels
Définitions
On dit qu'une fonction f définie sur un intervalle I est :
croissante sur l'intervalle I: si pour tous réels x_{1} et x_{2} appartenant à I tels que x_{1}\leqslant x_{2} on a f\left(x_{1}\right)\leqslant f\left(x_{2}\right).
décroissante sur l'intervalle I: si pour tous réels x_{1} et x_{2} appartenant à I tels que x_{1} \leqslant x_{2} on a f\left(x_{1}\right) \geqslant f\left(x_{2}\right).
strictement croissante sur l'intervalle I: si pour tous réels x_{1} et x_{2} appartenant à I tels que x_{1} < x_{2} on a f\left(x_{1}\right) < f\left(x_{2}\right).
strictement décroissante sur l'intervalle I: si pour tous réels x_{1} et x_{2} appartenant à I tels que x_{1} < x_{2} on a f\left(x_{1}\right) > f\left(x_{2}\right).
Remarques
Une fonction qui dont le sens de variations ne change pas sur I (c'est à dire qui est soit croissante sur I soit décroissante sur I) est dite monotone sur I.
Une fonction constante (x\mapsto k où k est un réel fixé) est à la fois croissante et décroissante mais n'est ni strictement croissante, ni strictement décroissante.
Propriété
Une fonction affine f : x\mapsto ax+b est croissante si son coefficient directeur a est positif ou nul, et décroissante si son coefficient directeur est négatif ou nul.
Remarque
Si le coefficient directeur d'une fonction affine est nul la fonction est constante.
II - Fonction associées
Fonctions u+k
Soit u une fonction définie sur une partie \mathscr D de \mathbb{R} et k \in \mathbb{R}
On note u+k la fonction définie sur \mathscr D par :
Propriété
Quel que soit k \in \mathbb{R}, u+k a le même sens de variation que u sur \mathscr D.
Exemple
Soit f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^{2}-1.
Si on note u la fonction carrée définie sur \mathbb{R} par u : x \mapsto x^{2}
on a f = u-1
Le sens de variation de f est donc identique à celui de u d'après la propriété précédente.
Donc
f est décroissante sur l'intervalle \left]-\infty ; 0\right]
f est croissante sur l'intervalle \left[0 ; +\infty \right[
Fonctions k\times u
Soit u une fonction définie sur une partie \mathscr D de \mathbb{R} et k \in \mathbb{R}
On note ku la fonction définie sur \mathscr D par :
Propriété
si k > 0, ku a le même sens de variation que u sur \mathscr D.
si k < 0, le sens de variation de ku est le contraire de celui de u sur \mathscr D.
Exemple
Soit f définie sur \left]-\infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty \right[ par f\left(x\right)=-\frac{1}{x}.
Si on note u la fonction inverse définie sur \left]-\infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty \right[ par u : x \mapsto \frac{1}{x}
on a f = -1\times u
Comme -1 est négatif, le sens de variation de f est inverse de celui de u sur chacun des intervalles \left]-\infty ; 0\right[ et \left]0 ; +\infty \right[
Donc f est croissante sur l'intervalle \left]-\infty ; 0\right] et sur l'intervalle \left]0 ; +\infty \right[
Fonctions \sqrt{u}
Soit u une fonction définie sur une partie \mathscr D de \mathbb{R}.
On note \sqrt{u} la fonction définie, pour tout x de \mathscr D tel que u\left(x\right) \geqslant 0, par :
Propriété
\sqrt{u} a le même sens de variation que u sur tout intervalle où u est positive.
Exemple
Soit f : x \mapsto \sqrt{x-2}
f est définie si et seulement si x-2 \geqslant 0, c'est à dire sur \mathscr D=\left[2 ; +\infty \right[
Sur l'intervalle \mathscr D la fonction f est croissante car la fonction x \mapsto x-2 l'est (fonction affine dont le coefficient directeur est positif).
Fonctions \frac{1}{u}
Soit u une fonction définie sur une partie \mathscr D de \mathbb{R}.
On note \frac{1}{u} la fonction définie pour tout x de \mathscr D tel que u\left(x\right) \neq 0 par :
Propriété
\frac{1}{u} a le sens de variation contraire de u sur tout intervalle où u ne s'annule pas et garde un signe constant.
Exemple
Soit f : x \mapsto \frac{1}{x+1}
f est définie si et seulement si x+1 \neq 0, c'est à dire sur \mathscr D=\left]-\infty ; -1\right[ \cup \left]-1 ; +\infty \right[
La fonction x \mapsto x+1 est croissante sur \mathbb{R}
Sur l'intervalle \left]-\infty ; -1\right[ la fonction x \mapsto x+1 est strictement négative (donc a un signe constant).
Sur l'intervalle \left]-1 ; +\infty \right[ la fonction x \mapsto x+1 est strictement positive (donc a un signe constant).
Donc f est strictement décroissante sur chacun des intervalles \left]-\infty ; -1\right[ et \left]-1 ; +\infty \right[
