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Variations d'une fonction - Fonctions associées

I - Rappels

Définitions

On dit qu'une fonction f définie sur un intervalle I est :

  • croissante sur l'intervalle I: si pour tous réels x_{1} et x_{2} appartenant à I tels que x_{1}\leqslant x_{2} on a f\left(x_{1}\right)\leqslant f\left(x_{2}\right).

  • décroissante sur l'intervalle I: si pour tous réels x_{1} et x_{2} appartenant à I tels que x_{1} \leqslant x_{2} on a f\left(x_{1}\right) \geqslant f\left(x_{2}\right).

  • strictement croissante sur l'intervalle I: si pour tous réels x_{1} et x_{2} appartenant à I tels que x_{1} < x_{2} on a f\left(x_{1}\right) < f\left(x_{2}\right).

  • strictement décroissante sur l'intervalle I: si pour tous réels x_{1} et x_{2} appartenant à I tels que x_{1} < x_{2} on a f\left(x_{1}\right) > f\left(x_{2}\right).

Fonctions croissante et décroissante

Remarques

  • Une fonction qui dont le sens de variations ne change pas sur I (c'est à dire qui est soit croissante sur I soit décroissante sur I) est dite monotone sur I.

  • Une fonction constante (x\mapsto k où k est un réel fixé) est à la fois croissante et décroissante mais n'est ni strictement croissante, ni strictement décroissante.

Propriété

Une fonction affine f : x\mapsto ax+b est croissante si son coefficient directeur a est positif ou nul, et décroissante si son coefficient directeur est négatif ou nul.

Remarque

Si le coefficient directeur d'une fonction affine est nul la fonction est constante.

II - Fonction associées

Fonctions u+k

Soit u une fonction définie sur une partie \mathscr D de \mathbb{R} et k \in \mathbb{R}

On note u+k la fonction définie sur \mathscr D par :

u+k : x\mapsto u\left(x\right)+k

Propriété

Quel que soit k \in \mathbb{R}, u+k a le même sens de variation que u sur \mathscr D.

Exemple

Soit f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^{2}-1.

Si on note u la fonction carrée définie sur \mathbb{R} par u : x \mapsto x^{2}

on a f = u-1

Le sens de variation de f est donc identique à celui de u d'après la propriété précédente.

Donc

  • f est décroissante sur l'intervalle \left]-\infty ; 0\right]

  • f est croissante sur l'intervalle \left[0 ; +\infty \right[

Tableau de variation x²-1

Fonctions k\times u

Soit u une fonction définie sur une partie \mathscr D de \mathbb{R} et k \in \mathbb{R}

On note ku la fonction définie sur \mathscr D par :

ku : x\mapsto k\times u\left(x\right)

Propriété

  • si k > 0, ku a le même sens de variation que u sur \mathscr D.

  • si k < 0, le sens de variation de ku est le contraire de celui de u sur \mathscr D.

Exemple

Soit f définie sur \left]-\infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty \right[ par f\left(x\right)=-\frac{1}{x}.

Si on note u la fonction inverse définie sur \left]-\infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty \right[ par u : x \mapsto \frac{1}{x}

on a f = -1\times u

Comme -1 est négatif, le sens de variation de f est inverse de celui de u sur chacun des intervalles \left]-\infty ; 0\right[ et \left]0 ; +\infty \right[

Donc f est croissante sur l'intervalle \left]-\infty ; 0\right] et sur l'intervalle \left]0 ; +\infty \right[

tableau de variation fonction inverse négative

Fonctions \sqrt{u}

Soit u une fonction définie sur une partie \mathscr D de \mathbb{R}.

On note \sqrt{u} la fonction définie, pour tout x de \mathscr D tel que u\left(x\right) \geqslant 0, par :

\sqrt{u} : x\mapsto \sqrt{u\left(x\right)}

Propriété

\sqrt{u} a le même sens de variation que u sur tout intervalle où u est positive.

Exemple

Soit f : x \mapsto \sqrt{x-2}

f est définie si et seulement si x-2 \geqslant 0, c'est à dire sur \mathscr D=\left[2 ; +\infty \right[

Sur l'intervalle \mathscr D la fonction f est croissante car la fonction x \mapsto x-2 l'est (fonction affine dont le coefficient directeur est positif).

Tableau de variation sqrt(x-2)

Fonctions \frac{1}{u}

Soit u une fonction définie sur une partie \mathscr D de \mathbb{R}.

On note \frac{1}{u} la fonction définie pour tout x de \mathscr D tel que u\left(x\right) \neq 0 par :

\frac{1}{u} : x\mapsto \frac{1}{u\left(x\right)}

Propriété

\frac{1}{u} a le sens de variation contraire de u sur tout intervalle où u ne s'annule pas et garde un signe constant.

Exemple

Soit f : x \mapsto \frac{1}{x+1}

f est définie si et seulement si x+1 \neq 0, c'est à dire sur \mathscr D=\left]-\infty ; -1\right[ \cup \left]-1 ; +\infty \right[

La fonction x \mapsto x+1 est croissante sur \mathbb{R}

Sur l'intervalle \left]-\infty ; -1\right[ la fonction x \mapsto x+1 est strictement négative (donc a un signe constant).

Sur l'intervalle \left]-1 ; +\infty \right[ la fonction x \mapsto x+1 est strictement positive (donc a un signe constant).

Donc f est strictement décroissante sur chacun des intervalles \left]-\infty ; -1\right[ et \left]-1 ; +\infty \right[

Tableau de variation 1/(x+1)

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