[ROC] Evénements indépendants

Corrigé

Si A et B sont deux événements indépendants, alors :
p\left(A\cap B\right)=p\left(A\right)\times p\left(B\right)
D’après la formule des probabilités totales : p\left(A\right)=p\left(A\cap B\right)+p\left(A\cap \overline{B}\right)
Par conséquent :
p\left(A\cap \overline{B}\right)=p\left(A\right)-p\left(A\cap B\right)=p\left(A\right)-p\left(A\right)\times p\left(B\right)=p\left(A\right)\left(1-p\left(B\right)\right)
Or 1-p\left(B\right)=p\left(\overline{B}\right) donc p\left(A\cap \overline{B}\right)=p\left(A\right)\times p\left(\overline{B}\right), ce qui prouve que A et \overline{B} sont indépendants.