Partie A

1. On place dans le tableau les données fournies par l'énoncé  :

   • 3% des tablettes présentent un défaut de disque dur ;

   • 4% des tablettes présentent un défaut d'écran ;

   • 95% des tablettes ne présentent aucun des deux défauts.

   $\$	Disque dur OK	Disque dur défectueux	Total
   Écran OK	95%	$\cdots$	$\cdots$
   Écran défectueux	$\cdots$	$\cdots$	4%
   Total	$\cdots$	3%	100 %

   On complète ensuite les totaux partiels afin que le total global soit égal à 100%  :

   $\$	Disque dur OK	Disque dur défectueux	Total
   Écran OK	95%	$\cdots$	96%
   Écran défectueux	$\cdots$	$\cdots$	4%
   Total	97%	3%	100 %

   Les données restantes peuvent être calculées simplement à partir des totaux  :

   $\$	Disque dur OK	Disque dur défectueux	Total
   Écran OK	95%	1%	96%
   Écran défectueux	2%	2%	4%
   Total	97%	3%	100 %

2. La variable aléatoire $X$ peut prendre quatre valeurs distinctes ; le tableau de la question précédente fournit la probabilité de chacune d'elle  :

   • si la tablette ne présente aucun défaut  : ${X=250}$ (probabilité  : 0,95) ;

   • si la tablette présente uniquement un défaut de disque dur  : ${X=250+30=280}$ (probabilité  : 0,01) ;

   • si la tablette présente uniquement un défaut d'écran  :${X=250+50=300}$ (probabilité  : 0,02) ;

   • si la tablette présente à la fois un défaut de disque dur et un défaut d'écran  : ${X=250+50+30=330}$ (probabilité  : 0,02).

   On peut regrouper ces résultats dans un tableau  :

   $x_i$	250	280	300	330
   $p(X=x_i)$	0,95	0,01	0,02	0,02

   À retenir

   La loi de probabilité d'une variable aléatoire X est un tableau qui recense les différentes valeurs $x_1, x_2, \cdots, x_n$ prises par X et les probabilités des événements ${(X=x_1), (X=x_2), \cdots, (X=x_n)}$

3. L'espérance mathématique de $X$ est  :

   $E(X)=250 \times 0,95 + 280 \times 0,01 + 300 \times 0,02 + 330 \times 0,02 = 252,9$.

   À retenir

   Si X est une variable aléatoire qui prend valeurs $x_1, x_2, \cdots, x_n$ avec les probabilités respectives $p_1, p_2, \cdots, p_n$, l'espérance mathématique de X est  :

   $E(X)=p_1x_1+p_2x_2+ \cdots +p_nx_n$

4. D'après la question précédente, le prix de revient moyen d'une tablette est de 252,9 euros.

   Si chaque tablette est vendu 400 euros, le bénéfice moyen par tablette vendue sera de $400 - 252,9 = 147,1$ euros.

   Pour une vente mensuelle de 750 tablettes, l'entreprise fera un bénéfice mensuel moyen de 750 \times 147,1 =\bm{110\ 325} euros.

Partie B

1. La variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,05$ puisque  :

   • on assimile l'expérience à la répétition de 50 tirages aléatoires identiques et indépendants ;

   • chaque tirage possède deux issues  :

     • succès, correspondant au tirage d'une tablette défectueuse (probabilité $p=0,05$) ;

     • échec, correspondant au tirage d'une tablette fonctionnant correctement ;

   • la variable aléatoire $Y$ comptabilise le nombre de succès.

   Bien rédiger

   Pour montrer qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale $\mathscr{B}(n~;~p)$ de paramètres $n$ et $p$, on précise que  :

   • l'expérience aléatoire est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ;

   • chaque épreuve de Bernoulli possède deux issues  :

     • succès, de probabilité $p$;

     • échec, de probabilité $1 - p$ ;

   • la variable aléatoire $X$ comptabilise le nombre de succès.

2. La probabilité qu'aucune des tablettes achetées par l'établissement ne présente de défaut est  :

   $P(Y=0)=\begin{pmatrix} 50 \\ 0 \end{pmatrix} \times 0,05^0 \times 0,95^{50} = 0,95^{50}$

   $P(Y=0) \approx 0,077$ (arrondi au millième).

   À retenir

   Si la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $\mathscr B \left(n ; p\right)$, pour tout entier naturel $k$ compris entre $0$ et $n$, la probabilité que $X$ prenne la valeur $k$ est  :

   $P\left(X=k\right)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}p^{k} \left(1 - p\right)^{n - k}$

3. L'espérance mathématique de $Y$ est  :

   $E(Y)=np=50 \times 0,05=2,5$.

   En moyenne, parmi les 50 tablettes achetées par l'école, 2,5 tablettes présenteront un défaut.

   À retenir

   Pour une variable aléatoire $X$ qui une loi binomiale $\mathscr B \left(n ; p\right)$, l'espérance mathématique vaut  :

   $E(X)=np$