Partie A

1. 1. À une augmentation de $3\%$ correspond un coefficient multiplicateur :

      $CM=1+\frac{3}{100}=1,03.$

      $a_1$ représente le salaire d'Antoine en 2016. On a donc :

      $a_1=a_0 \times 1,03=19\ 500 \times 1,03 = 20\ 085.$

      À retenir

      Pour augmenter une valeur de $t\%$, on multiplie cette valeur par le coefficient multiplicateur :

      $CM=1+\frac{t}{100}$

      Pour diminuer une valeur de $t\%$, on multiplie cette valeur par le coefficient multiplicateur :

      $CM=1 - \frac{t}{100}$

   2. Le salaire d'Antoine pour l'année $n+1$ est égal à son salaire de l'année $n$ augmenté de $3\%$ ; par conséquent :

      $a_{n+1}=1,03a_n.$

   3. La suite $(a_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $a_0=19\ 500$ et de raison $q=1,03$.

      Attention

      Ne pas écrire « la suite $a_n$ » (sans parenthèses) mais : « la suite $(a_n)$ » (entre parenthèses).

      $(a_n)$ représente la suite, tandis que $a_n$ représente un terme de la suite, c'est à dire un nombre réel.

      À retenir

      Une suite géométrique $(u_n)$ est définie par une relation de récurrence de la forme :

      $u_{n+1}=q \times u_n$

      où $q$ s'appelle la raison de la suite.

2. 1. La suite $(a_n)$ étant une suite géométrique de premier terme $a_0=19\ 500$ et de raison $q=1,03$ :

      $a_n = a_0q^n=19\ 500 \times 1,03^n$.

      À retenir

      Pour une suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0$ et de raison $q$, le $n$-ième terme vaut :

      $u_{n}=u_0 \times q^n.$

   2. ${2030=2015+15}$. Le salaire d'Antoine en 2030 sera donc égal à $a_{15}$ :

      $a_{15}=19\ 500 \times 1,03^{15}\approx 30\ 380$ (arrondi à l'euro).

      Le salaire d'Antoine en 2030 sera 30 380 euros.

Partie B

1. 1. Le salaire de Bruno augmente de 500 euros par an, donc :

      $b_1=b_0+500=21\ 000+500=21\ 500$.

   2. Pour la même raison :

      $b_{n+1}=b_{n}+500.$

   3. La suite $(b_n)$ est une suite arithmétique de premier terme ${b_0=21\ 000}$ et de raison ${r=500}$.

      À retenir

      Une suite arithmétique $(u_n)$ est définie par une relation de récurrence de la forme :

      $u_{n+1}= u_n + r$

      où $r$ s'appelle la raison de la suite.

2. 1. La suite $(b_n)$ étant une suite arithmétique de premier terme ${b_0=21\ 000}$ et de raison ${r=500}$ :

      $b_n=b_0+nr=21\ 000+500n$.

      À retenir

      Pour une suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0$ et de raison $r$, le $n$-ième terme vaut :

      $u_{n}=u_0 +nr$

   2. En 2030 le salaire de Bruno sera :

      $b_{15}=21~000 + 500 \times 15 = 28~500$.

      Par conséquent, en 2030, le salaire d'Antoine sera supérieur au salaire de Bruno.

Partie C

1. À l'aide de la calculatrice on obtient le tableau suivant :

   $n$	0	1	2	3	4	5
   $a$	$19\ 500$	$20\ 085$	$20\ 688$	$21\ 308$	$21\ 947$	$22\ 606$
   $b$	$21\ 000$	$21\ 500$	$22\ 000$	$22\ 500$	$23\ 000$	$23\ 500$
   $a \leqslant b$	vraie	vraie	vraie	vraie	vraie	vraie

   $n$	6	7	8	9	10
   $a$	$23\ 284$	$23\ 983$	$24\ 702$	$25\ 443$	$26\ 206$
   $b$	$24\ 000$	$24\ 500$	$25\ 000$	$25\ 500$	$26\ 000$
   $a \leqslant b$	vraie	vraie	vraie	vraie	fausse

   En pratique

   Pour calculer rapidement les différentes valeurs de $a$ et de $b$, on peut utiliser l'écran « suite » ou l'écran « fonction » de la calculatrice.

   Par contre, le jour du bac, saisir l'algorithme complet dans la calculatrice est long et peu utile.

2. Le tableau précédent montre que lorsque l'algorithme se termine $n$ vaut $10$.

   L'algorithme affiche donc la valeur ${2015+10}$ soit $2025$. Cette valeur correspond à l'année à partir de laquelle le salaire d'Antoine dépassera celui de Bruno.