Partie A

1. Pour une tonne de granulés, l'entreprise encaisse $5\ 400$ euros soit {$54$ centaines} d'euros.

   Comme l'entreprise produit et vend quotidiennement $x$ tonnes de granulés (avec $0 \leqslant x \leqslant 5$), la recette quotidienne de l'entreprise, en centaines d'euros, peut être modélisée par la fonction $R$ définie sur l'intervalle $[0~;~5]$ par :

   $R(x)= 54x.$

   Cette fonction est la restriction à l'intervalle $[0~;~5]$ d'une fonction linéaire.

   Bien rédiger

   Lorsque vous rencontrez une fonction étudiée en cours (fonction linéaire, affine, carré, inverse, polynôme du second degré, ...), indiquez-le clairement sur votre copie.

   Cela vous permettra notamment de justifier l'allure de la courbe représentative (droite, hyperbole, parabole, ...).

   Sa représentation graphique $\mathscr{R}$ est un segment de droite passant par l'origine.

   Pour $x=5$, la recette est $R(5)=270$ ; donc la droite passe par le point de coordonnées $(5~;~270)$ (voir graphique).

   

   En pratique

   Pour tracer une droite, il suffit de connaître deux points de la droite.

   Pour obtenir un tracé précis, il est préférable de choisir deux points espacés.

2. À l'aide du graphique , on voit que :

   • pour une production de 2 tonnes (construction en rouge) :

     • le coût de fabrication quotidien avoisine 124 euros ;

     • la recette quotidienne avoisine 108 euros.

   • pour une production de 5 tonnes (construction en violet) :

     • le coût de fabrication quotidien avoisine 250 euros ;

     • la recette quotidienne avoisine 270 euros.

   Dans le premier cas, la recette est inférieure au coût donc l'entreprise est déficitaire.

   Dans le second cas, la recette est supérieure au coût donc l'entreprise est bénéficiaire.

   Bien rédiger

   Il n'est pas toujours facile d'expliquer clairement une lecture graphique.

   Si, comme ici, vous rendez le graphique avec votre copie, laissez apparents vos traits de construction afin que le correcteur puisse comprendre votre démarche.

3. L'entreprise réalise un bénéfice lorsque la recette est supérieure au coût de production, c'est à dire lorsque le segment $\mathscr{R}$ est situé au-dessus de la courbe $\mathscr{C}$. D'après le graphique, on peut estimer que ceci se produit lorsque $x$ appartient à l'intervalle $[2,3~;~5]$ (tracé en brun), c'est à dire pour une production supérieure à \bm{2,3} tonnes.

Partie B

1. La fonction $C$ est une fonction polynôme sur $[0~;~5]$ donc $C$ est dérivable sur $[0~;~5]$ et :

   $C^{\prime}(x)= 8 \times 3x^2 - 60 \times 2x + 150$
   $\phantom{C^{\prime}(x)}= 24x^2 - 120x + 150.$

   On peut mettre $6$ en facteur :

   $C^{\prime}(x)= 6(4x^2 - 20x+25)$.

   On applique l'identité remarquable $(a - b)^2=a^2 - 2ab+b^2$ :

   $C^{\prime}(x)= 6(2x - 5)^2$.

   Un carré est toujours positif ou nul donc $C^{\prime}(x) \geqslant 0$ sur $[0~;~5]$.

   Par conséquent, la fonction $C$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~5]$.

   Remarque

   Il serait tout à fait correct de calculer le discriminant $\Delta$ de la fonction polynôme $C^{\prime}$ pour déterminer son signe.

   Toutefois, ici, il est préférable et plus rapide de factoriser $C^{\prime}(x)$ grâce à une identité remarquable.

2. Le résultat net est la différence entre la recette et le coût de fabrication, donc :

   $B(x)=R(x) - C(x)$
   $\phantom{B(x)}=54x - (8x^3 - 60x^2+150x)$
   $\phantom{B(x)}= - 8x^3+60x^2 - 96x$

   $B$ est une fonction polynôme du troisième degré sur $[0~;~5]$ ; elle est donc dérivable et :

   $B^{\prime}(x)= - 8\times 3x^2+60\times 2x - 96$
   $\phantom{B^{\prime}(x)}= - 24x^2+120x - 96$.

3. Étude du signe du trinôme $- 24x^2+120x - 96$ :

   $\Delta=120^2 - 4 \times ( - 24)\times ( - 96)=5184=72^2$.

   Le discriminant est strictement positif donc le trinôme possède deux racines distinctes :

   $x_1=\dfrac{ - 120+72}{ - 2\times ( - 24)}=1 \quad \text{et} \quad\ x_2=\dfrac{ - 120 - 72}{ - 2\times ( - 24)}=4.$

   Le coefficient de $x^2$ est -24 ; il est négatif, donc $B^{\prime}(x)$ est négatif à l'extérieur des racines, c'est à dire sur l'ensemble $[0~;~1] \cup [4~;~5]$.

   De plus : $B(0)=0 \ ;\ B(1)= - 44\ ;\ B(4)=64\ ;\ B(5)=20$.

   En pratique

   Pour obtenir rapidement différentes valeurs de $B(x)$ le plus simple est de saisir la fonction $B$ dans la calculatrice et de faire afficher un tableau de valeurs.

   Par ailleurs, il est aussi conseillé de tracer le graphique sur la calculatrice pour vérifier le tableau de variations.

   On en déduit le tableau de signes de $B^{\prime}$ et le tableau de variations de $B$ :

   

4. Le tableau de variations précédent montre que $B$ atteint un maximum de 64 pour $x=4$.

   Le résultat net de l'entreprise est donc maximal pour une production de 4 tonnes de granulés.

   Ce maximum vaut alors 64 centaines d'euros soit $6\ 400$ euros.