G est le barycentre des points pondérés (A;1), (B;1), (C;1) et (D;1).

Or I est le milieu de [AB] donc le barycentre de (A;1),(B;1) et J est le milieu de [CD] donc le barycentre de (C;1),(D;1)

D'après la propriété d'associativité du barycentre G est le barycentre de (I;2), (J;2) donc G est le milieu de [IJ] et il appartient donc à la droite (IJ).

On montre de même (en associant A avec C et B avec D puis A avec D et B avec C) que G est le milieu de [KL] et [MN] et par conséquent appartient à (KL) et à (MN)

Conclusion : Les droites (IJ), (KL) et (MN) sont concourantes en G.

1. D'après 1. les diagonales du quadrilatère IKJL se coupent en leurs milieux G donc IKJL est un parallélogramme.

   D'après le théorème des milieux dans le triangle ABC, IK=$\frac{1}{2}$AC. De même, d'après le théorème des milieux dans le triangle BCD, JK=$\frac{1}{2}$BD. Comme AC=BD, IK=JK donc le parallélogramme IKJL, qui a deux côtés consécutifs égaux, est un losange.

   La démonstration est similaire pour les quadrilatères IMJN et KNLM.

   Conclusion : Les quadrilatères IKJL, IMJN et KNLM sont des losanges

2. Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires donc :

   Conclusion : Les droites (IJ) et (KL) sont orthogonales.

1. Les droites (MN) et (JK) sont coplanaires et sécantes d'après les questions précédentes et sont donc incluses dans le plan (MKN).

   (IJ) est donc orthogonale à deux droites sécantes du plan (MKN). Par conséquent :

   Conclusion : La droite (IJ) est orthogonale au plan (MKN)

2. (IJ) est orthogonale à toute droite de (MKN) en particulier à (MK) donc :

   Conclusion : $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{0}$

   D'après le théorème des milieux dans le triangle ABC :

   $\overrightarrow{MK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

   donc :

   $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$

   Conclusion : La droite (IJ) est orthogonale à la droite (AB).

   De même (IJ) est orthogonale à toute droite de (MKN) en particulier à (ML) donc :

   $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{ML}=\overrightarrow{0}$

   D'après le théorème des milieux dans le triangle ABC :

   $\overrightarrow{ML}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$

   donc :

   $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}$

   Conclusion : La droite (IJ) est orthogonale à la droite (CD).

3. La droite (IJ) est orthogonale à la droite (AB) et passe par le point I . Donc, elle appartient au plan orthogonal à (AB) passant par I. Comme I est le milieu de [AB], ce plan est le plan médiateur du segment [AB].

   Or G appartient à (IJ) donc :

   Conclusion : G appartient au plan médiateur de [AB].

   De même, la droite (IJ) est orthogonale à la droite (CD) et passe par le point J . Donc, elle appartient au plan orthogonal à (CD) passant par J. Comme J est le milieu de [CD], ce plan est le plan médiateur du segment [CD]. Donc :

   Conclusion : G appartient au plan médiateur de [CD].

4. Pour démontrer que G est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD il suffit de montrer que GA=GB=GC=GD.

   Or G appartient au plan médiateur de [AB] donc GA=GB.

   Et G appartient au plan médiateur de [CD] donc GC=GD.

   Pour démontrer que G est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD il suffira de montrer (par exemple) que GB=GC, c'est à dire que G appartient au plan médiateur de [BC].

   La démonstration serait similaire à la précédente en remplaçant (IJ) par (KL) et (MNK) par (MNJ)

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