Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Nombres complexes et rotations - Bac S Pondichéry 2008

Exercice 2

(5 points) Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances.

Partie A

On suppose connus les résultats suivants :

  1. Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes zAz_{A}, zBz_{B} et zCz_{C} trois points A, B et C.

    Alors zBzCzAzC=CBCA|\frac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}}|=\frac{CB}{CA} et arg(zBzCzAzC)=(CA,CB)\text{arg}\left(\frac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}}\right)=\left(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}\right) (mod.2π)\left(\text{}mod. \text{} 2 \pi \right)

  2. Soit z un nombre complexe et soit θ\theta un réel :

    z=eiθz=e^{i\theta } si et seulement si z=1|z|=1 et arg(z)=θ+2kπ\text{arg}\left(z\right)=\theta +2k \pi où k est un entier relatif.

    Démonstration de cours :

    Démontrer que la rotation r d'angle α\alpha et de centre Ω\Omega d'affixe ω\omega est la transformation du plan qui à tout point M d'affixe zz associe le point M' d'affixe zz^{\prime} tel que zω=eiα(zω)z^{\prime} - \omega =e^{i \alpha } \left(z - \omega \right).

Partie B

Dans un repère orthonormal direct du plan complexe (O;u,v)\left(O; \vec{u}, \vec{v}\right) d'unité graphique 2 cm, on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives zA=3iz_{A}= - \sqrt{3} - i, zB=1i3z_{B}=1 - i\sqrt{3}, zC=3+iz_{C}=\sqrt{3}+i et zD=1+i3z_{D}= - 1+i\sqrt{3}.

    1. Donner le module et un argument pour chacun des quatre nombre complexes zAz_{A}, zBz_{B}, zCz_{C} et zDz_{D}.

    2. Comment construire à la règle et au compas les points A, B, C et D dans le repère (O;u,v)\left(O;\vec{u},\vec{v}\right) ?

    3. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

  1. On considère la rotation r de centre B et d'angle π3 - \frac{\pi}{3}. Soient E et F les points du plan définis par : E=r(A) et F=r(C).

    1. Comment construire à la règle et au compas les points F et E dans le repère précédent ?

    2. Donner l'écriture complexe de r.

    3. Déterminer l'affixe du point E