Exercice corrigéOn se place dans un repère \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right).
Soient les points A\left(1;1\right), B\left(4;2\right) et C\left(2;4\right)
- Déterminer les coordonnées du point M milieu de \left[BC\right]. En déduire une équation de la médiane au triangle ABC issue de A.
- Déterminer une équation de la médiane au triangle ABC issue de B.
- En déduire les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC.
- Vérifier que \overrightarrow{AG}=\frac{2}{3} \overrightarrow{AM}
Corrigé
Remarque : Pour des raisons de simplicité, le repère choisi pour la figure est orthonormé. Toutefois, cet exercice ne nécessite pas que le repère soit orthonormé.
- Les coordonnées de M sont \left(\frac{x_{B}+x_{C}}{2} ; \frac{y_{B}+y_{C}}{2}\right)=\left(3;3\right)
La médiane au triangle ABC issue de A est la droite \left(AM\right).
Le point P\left(x;y\right) appartient à la droite \left(AM\right) si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{AP} sont colinéaires.
\overrightarrow{AP} a pour coordonnées \left(x-x_{A} ; y-y_{A}\right)=\left(x-1 ; y-1\right)
\overrightarrow{AM} a pour coordonnées \left(x_{M}-x_{A} ; y_{M}-y_{A}\right)=\left(2 ; 2\right)
Les vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{AP} sont colinéaires si et seulement si (voir théorème) :
\left(x-1\right)\times 2-\left(y-1\right)\times 2=0
2x-2y=0
Une équation de la médiane au triangle ABC issue de A est donc 2x-2y=0 ou après simplification par 2 :x-y=0
- Le raisonnement étant identique, il ne sera pas détaillé.
N\left(\frac{3}{2} ; \frac{5}{2}\right)
\overrightarrow{BP} a pour coordonnées \left(x-4 ; y-2\right)
\overrightarrow{BN} a pour coordonnées \left(x_{M}-x_{A} ; y_{M}-y_{A}\right)=\left(-\frac{5}{2} ; \frac{1}{2}\right)
Une équation de \left(BN\right) est :
\left(x-4\right)\times \frac{1}{2}-\left(y-2\right)\times -\frac{5}{2}=0
x+5y-14=0 (après multiplication par 2) - Le centre de gravité d'un triangle est le point d'intersection de ses médianes.
Le couple de coordonnées du point G est donc la solution du système :
\left\{ \begin{matrix} x-y=0 \\ x+5y-14=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=y \\ 6y-14=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=y \\ y=7/3\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=7/3 \\ y=7/3 \end{matrix}\right.
Les coordonnées de G sont donc \left(\frac{7}{3} ; \frac{7}{3}\right) - \overrightarrow{AG} a pour coordonnées \left(x_{G}-x_{A} ; y_{G}-y_{A}\right)=\left(\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right)
\overrightarrow{AM} a pour coordonnées \left(2 ; 2\right)
On a donc bien \overrightarrow{AG}=\frac{2}{3} \overrightarrow{AM}
Remarque : On retrouve dans cette question un résultat vu au collège. Si l'exercice demandait seulement de trouver les coordonnées de G, il était bien sûr plus facile de partir de cette égalité vectorielle que de déterminer l'équation des médianes.
