Exercice non corrigéExercice 3 (5 points)
Candidats de la série ES ayant choisi la spécialité « mathématiques »
Pour la nouvelle année, Lisa prend la bonne résolution d’aller au travail tous les matins à vélo. Le premier jour, très motivée, Lisa se rend au travail à vélo. Par la suite, elle se rend toujours au travail à vélo ou en voiture.
Elle se rend compte que :
si elle a pris son vélo un jour, cela renforce sa motivation et elle reprend le vélo le lendemain avec une probabilité de 0,7 ;
si elle a pris sa voiture un jour, la probabilité qu’elle reprenne la voiture le lendemain est de 0,5.
Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste de sommets A et B où :
A est l’événement « Lisa prend le vélo » ;
B est l’événement « Lisa prend la voiture ».
On note, pour tout entier naturel n non nul :
a_n la probabilité que Lisa aille au travail à vélo le jour n ;
b_n la probabilité que Lisa aille au travail en voiture le jour n.
Traduire les données par un graphe probabiliste.
En déduire la matrice de transition M.
Donner les valeurs de a_1 et b_1 correspondant à l’état initial.
Calculer la probabilité arrondie au centième que Lisa prenne le vélo le 8^{e} jour.
Déterminer l’état stable du graphe puis interpréter le résultat obtenu.
Montrer que, pour tout nombre entier naturel n non nul : a_{n+1} = 0,7a_n + 0,5b_n.
En déduire que pour tout entier naturel non nul n : a_{n+1} = 0,2a_n + 0,5.
Recopier et compléter l’algorithme suivant permettant de déterminer le plus petit entier n tel que a_n < 0,626.
Quelle est la valeur de N après exécution de l’algorithme ? Interpréter ce résultat.