Partie A

1. On cherche la probabilité de l'événement $(X>1~400)$.

   À la calculatrice, on trouve :

   $p(X>1~400) \approx 0,023\ \text{(au millième près)}.$

2. On recherche la valeur du réel $m$ tel que :

   $p(X \geqslant m) = 0,16.$

   À la calculatrice, on trouve :

   $m \approx 1200\$ (arrondi à la centaine).

3. Le graphique correct est le graphique 1.

   La moyenne $\mu$ d'une loi binomiale correspond à l'abscisse du sommet de la courbe de Gauss.

   Cela permet d'éliminer immédiatement les graphiques 2. et 4. pour lesquels $\mu =200$.

   On sait que, pour une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$ :

   $p(\mu - \sigma \leqslant X \leqslant\mu +\sigma ) \approx 0,68.$

   C'est à dire ici :

   $p(800 \leqslant X \leqslant 1\ 200 ) \approx 0,68 = 68\%.$

   Or, $p(800 \leqslant X \leqslant 1\ 200$ représente l'aire, en unité d'aire, du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=800$ et $x=1\ 200$.

   Par ailleurs, l'aire totale du domaine compris entre la courbe et l'axe des abscisses vaut 1 unité d'aire.

   Pour le graphique 1., il est tout à fait raisonnable de penser que l'aire comprise entre les abscisses 800 et 1\ 200 représente 68% de l'aire totale (voir figure ci-après).

   

   Graphique 1.

   Par contre, pour le graphique 3., l'aire comprise entre les abscisses 800 et 1\ 200 représente pratiquement 100% de l'aire totale (voir figure ci-après) ; ce graphique ne convient donc pas.

   

   Graphique 3.

   À retenir

   Si la variable aléatoire $X$ suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, alors :

   • $p\left(\mu - \sigma \leqslant X\leqslant \mu + \sigma \right)\approx 0,68$ (à $10^{ - 2}$ près) ;

   • $p\left(\mu - 2\sigma \leqslant X\leqslant \mu + 2\sigma \right)\approx 0,95$ (à $10^{ - 2}$ près) ;

   • $p\left(\mu - 3\sigma \leqslant X\leqslant \mu + 3\sigma \right)\approx 0,997$ (à $10^{ - 3}$ près).

   En pratique

   Pour une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$ :

   • $\mu$ correspond à l'abscisse du sommet de la courbe ;

   • plus l'écart-type $\sigma$ est grand, plus la « cloche » est évasée ;

   • environ 68% de l'aire située entre la courbe et l'axe des abscisses est comprise entre les abscisses $\mu - \sigma$ et $\mu + \sigma$.

Partie B

1. D'après le fabriquant, la proportion théorique de lampes ayant une durée de vie supérieure à 3\ 000 heures est $p=0,75$.

   La taille de l'échantillon est $n=200$.

   On vérifie que :

   • $n=200 \geqslant 30$ ;

   • $np=200 \times 0,75=150 \geqslant 5$ ;

   • $n(1 - p)=200 \times 0,25=50 \geqslant 5$.

   Les conditions de validité étant remplies, l'intervalle cherché est :

   $I=\left[p - 1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\right].$

   \vspace{1cm}

   $p - 1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}=0,75 - 1,96\dfrac{\sqrt{0,75(1 - 0,75)}}{\sqrt{200}}$

   $\phantom{p - 1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}} \approx 0,690$ (arrondi au millième).

   $p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}=0,75+1,96\dfrac{\sqrt{0,75(1 - 0,75)}}{\sqrt{200}}$

   $\phantom{p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}} \approx 0,810$ (arrondi au millième).

   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de lampes ayant une durée de vie supérieure à 3\ 000 heures pour un échantillon de taille 200 est donc :

   $I=[0,69~;~0,81].$

   À retenir

   On note :

   • $n$ : la taille de l'échantillon,

   • $f$ : la fréquence du caractère dans l'échan\-til\-lon,

   • $p$ : la proportion (connue ou supposée) du caractère dans la population.

   Si les conditions \bm{n\geqslant 30}, \bm{np\geqslant 5} et \bm{n\left(1 - p\right)\geqslant 5} sont vérifiées, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est :

   $I=\left[ p - 1,96\frac{\sqrt{p\left(1 - p\right)}}{\sqrt{n}}~ ; ~p+1,96 \frac{\sqrt{p\left(1 - p\right)}}{\sqrt{n}} \right].$

2. Sur l'échantillon de 200 lampes, 140 ont une durée de vie supérieure à 3\ 000 heures.

   Cela correspond à une fréquence observée de :

   $f=\dfrac{140}{200}=0,7$.

   Or $f=0,7$ appartient à l'intervalle de fluctuation $I$ trouvé à la question précédente.

   Au seuil de 95%, les résultats du test ne remettent pas en cause l'affirmation du fabriquant.

   En pratique

   En pratique, pour valider ou rejeter une hypothèse à l'aide d'un intervalle de fluctuation asymptotique :

   • On détermine l'intervalle de fluctuation asymptotique $I$ au seuil de 95% en prenant pour $p$ la proportion supposée du caractère dans l'ensemble de la population.

   • On calcule la fréquence observée $f$ du caractère dans l'échantillon.

   • Si $f$ appartient à l'intervalle $I$ on valide l'hypothèse.

   • Si $f$ n'appartient pas à l'intervalle $I$ on rejette l'hypothèse. Le risque d'erreur en rejetant l'hypothèse est alors inférieur 5%.