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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Intégrale Encadrement - Bac S Pondichéry 2008

Exercice 1

(4 points) Commun à tous les candidats

  1. Soit ff la fonction définie sur [1,+∞[\left[1, +\infty \right[ par f(x)=xex−1f\left(x\right)=\frac{x}{e^{x} - 1} et soit H la fonction définie sur [1,+∞[\left[1, +\infty \right[ par H(x)=∫1xf(t)dtH\left(x\right)= \int_{1}^{x} f\left(t\right) \text{d}t.

    1. Justifier que ff et H sont bien définies sur [1,+∞[\left[1, +\infty \right[.

    2. Quelle relation existe-t-il entre H et ff ?

    3. Soit (C)\left(C\right) la courbe représentative de ff dans un repère orthonormal (O;i⃗,j⃗)\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) du plan. Interpréter en termes d'aire le nombre H(3)H\left(3\right).

  2. On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre H(3)H\left(3\right).

    1. Montrer que pour tout réel x>0x > 0, xex−1=x×e−x1−e−x\frac{x}{e^{x} - 1}=x \times \frac{e^{ - x}}{1 - e^{ - x}}.

    2. En déduire que ∫13f(x)dx=3ln(1−1e3)−ln(1−1e)−∫13ln(1−e−x)dx \int_{1}^{3} f\left(x\right) \text{d}x=3 \ln\left(1 - \frac{1}{e^{3}}\right) - \ln\left(1 - \frac{1}{e}\right) - \int_{1}^{3} \ln\left(1 - e^{ - x}\right) \text{d}x

    3. Montrer que si 1<x<31 < x < 3, alors ln(1−1e)<ln(1−e−x)<ln(1−1e3)\ln\left(1 - \frac{1}{e}\right) < \ln\left(1 - e^{ - x}\right) < \ln\left(1 - \frac{1}{e^{3}}\right).

    4. En déduire un encadrement de ∫13ln(1−e−x)dx \int_{1}^{3} \ln\left(1 - e^{ - x}\right) \text{d}x puis de ∫13f(x)dx \int_{1}^{3} f\left(x\right) \text{d}x.

Corrigé

    1. Sur [1,+∞[\left[1, +\infty \right[, x≠1x\neq 1 donc ex−1≠0e^{x} - 1\neq 0. Donc ff est définie sur [1,+∞[\left[1, +\infty \right[.

      Sur [1,+∞[\left[1, +\infty \right[, ff est le quotient de 2 fonctions continues et le dénominateur ne s'annule pas donc ff est continue et par conséquent intégrable. H est donc bien définie sur [1,+∞[\left[1, +\infty \right[

      ff et H sont définies sur [1,+∞[\left[1, +\infty \right[

    2. D'après l'énoncé, H est la primitive de ff qui s'annule pour x=1x=1

      (On peut également dire que ff est la dérivée de H.)

    3. Sur [1,+∞[\left[1, +\infty \right[, ff est positive donc H(3)H(3) est l'aire du domaine limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1x=1 et x=3x=3.

    1. Sur [1,+∞[\left[1, +\infty \right[ :

      x×e−x1−e−x=x×e−x×ex(1−e−x)×ex=x×1ex−1=xex−1x \times \frac{e^{ - x}}{1 - e^{ - x}}= x\times \frac{e^{ - x}\times e^{x}}{\left(1 - e^{ - x}\right)\times e^{x}}=x\times \frac{1}{e^{x} - 1}=\frac{x}{e^{x} - 1}

      Sur [1,+∞[\left[1, +\infty \right[ : xex−1=x×e−x1−e−x\frac{x}{e^{x} - 1}=x \times \frac{e^{ - x}}{1 - e^{ - x}}

    2. ∫13f(x)dx=∫13x×e−x1−e−xdx\int_{1}^{3}f\left(x\right)dx=\int_{1}^{3} x \times \frac{e^{ - x}}{1 - e^{ - x}} dx

      On intègre par parties en posant :

      u(x)=xu\left(x\right)=x et v′(x)=e−x1−e−xv^{\prime}\left(x\right)=\frac{e^{ - x}}{1 - e^{ - x}}

      v′v^{\prime} est de la forme U′U\frac{U^{\prime}}{U} avec U=1−e−xU=1 - e^{ - x}

      donc u′(x)=1u^{\prime}\left(x\right)=1 et v(x)=ln(1−e−x)v\left(x\right)=\ln\left(1 - e^{ - x}\right)

      ∫13f(x)dx=[x×ln(1−e−x)]13−∫13ln(1−e−x)dx\int_{1}^{3}f\left(x\right)dx=\left[x\times \ln\left(1 - e^{ - x}\right)\right]_{1}^{3} - \int_{1}^{3}\ln\left(1 - e^{ - x}\right)dx

      ∫13f(x)dx=3×ln(1−e−3)−ln(1−e−1)−∫13ln(1−e−x)dx\int_{1}^{3}f\left(x\right)dx=3\times \ln\left(1 - e^{ - 3}\right) - \ln\left(1 - e^{ - 1}\right) - \int_{1}^{3}\ln\left(1 - e^{ - x}\right)dx

      ∫13f(x)dx=3×ln(1−1e3)−ln(1−1e)−∫13ln(1−e−x)dx\int_{1}^{3}f\left(x\right)dx=3\times \ln\left(1 - \frac{1}{e^{3}}\right) - \ln\left(1 - \frac{1}{e}\right) - \int_{1}^{3}\ln\left(1 - e^{ - x}\right)dx

      ∫13ln(1−1e)dx⩽∫13ln(1−e−x)dx⩽∫13ln(1−1e3)dx\int_{1}^{3}\ln\left(1 - \frac{1}{e}\right)dx\leqslant \int_{1}^{3}\ln\left(1 - e^{ - x}\right)dx\leqslant \int_{1}^{3}\ln\left(1 - \frac{1}{e^{3}}\right)dx

    3. La fonction ϕ:x↦ln(1−(e−x))\phi :x\mapsto \ln\left(1 - \left(e^{ - x}\right)\right) a une dérivée ϕ′\phi ^{\prime} définie par ϕ′(x)=e−x1−e−x\phi ^{\prime}\left(x\right)=\frac{e^{ - x}}{1 - e^{ - x}}.

      Sur [1;3] : −x<0⇒e−x<1⇒1−e−x>0⇒ϕ′(x)>0 - x < 0 \Rightarrow e^{ - x} < 1 \Rightarrow 1 - e^{ - x} > 0 \Rightarrow \phi ^{\prime}\left(x\right) > 0

      donc ϕ\phi est croissante sur [1;3] donc

      ϕ(1)⩽ϕ(x)⩽ϕ(3)\phi \left(1\right)\leqslant \phi \left(x\right)\leqslant \phi \left(3\right)

      Si 1⩽x⩽3 1\leqslant x\leqslant 3 : ln(1−1e)⩽ln(1−e−x)⩽ln(1−1e3)\ln\left(1 - \frac{1}{e}\right)\leqslant \ln\left(1 - e^{ - x}\right)\leqslant \ln\left(1 - \frac{1}{e^{3}}\right)

    4. En intégrant membre à membre l'encadrement précédent:

      ∫13ln(1−1e)dx⩽∫13ln(1−e−x)dx⩽∫13ln(1−1e3)dx\int_{1}^{3}\ln\left(1 - \frac{1}{e}\right)dx\leqslant \int_{1}^{3}\ln\left(1 - e^{ - x}\right)dx\leqslant \int_{1}^{3}\ln\left(1 - \frac{1}{e^{3}}\right)dx

      ln(1−1e)∫13dx⩽∫13ln(1−e−x)dx⩽ln(1−1e3)∫13dx\ln\left(1 - \frac{1}{e}\right)\int_{1}^{3}dx\leqslant \int_{1}^{3}\ln\left(1 - e^{ - x}\right)dx\leqslant \ln\left(1 - \frac{1}{e^{3}}\right)\int_{1}^{3}dx

      2ln(1−1e)⩽∫13ln(1−e−x)dx⩽2ln(1−1e3)2\ln\left(1 - \frac{1}{e}\right)\leqslant \int_{1}^{3}\ln\left(1 - e^{ - x}\right)dx\leqslant 2\ln\left(1 - \frac{1}{e^{3}}\right)

      Donc :

      −2ln(1−1e3)⩽−∫13ln(1−e−x)dx⩽−2ln(1−1e) - 2\ln\left(1 - \frac{1}{e^{3}}\right)\leqslant - \int_{1}^{3}\ln\left(1 - e^{ - x}\right)dx\leqslant - 2\ln\left(1 - \frac{1}{e}\right)

      D'où d'après b. et en ajoutant 3×ln(1−1e3)−ln(1−1e)3\times \ln\left(1 - \frac{1}{e^{3}}\right) - \ln\left(1 - \frac{1}{e}\right) à chaque membre:

      ln(1−1e3)−ln(1−1e)⩽∫13f(x)dx⩽3×ln(1−1e3)−3ln(1−1e)\ln\left(1 - \frac{1}{e^{3}}\right) - \ln\left(1 - \frac{1}{e}\right)\leqslant \int_{1}^{3}f\left(x\right)dx\leqslant 3\times \ln\left(1 - \frac{1}{e^{3}}\right) - 3\ln\left(1 - \frac{1}{e}\right)

      Or

      ln(1−1e3)−ln(1−1e)=ln(e3−1e3)−ln(e−1e)=ln(e3−1e3×ee−1)\ln\left(1 - \frac{1}{e^{3}}\right) - \ln\left(1 - \frac{1}{e}\right)=\ln\left(\frac{e^{3} - 1}{e^{3}}\right) - \ln\left(\frac{e - 1}{e}\right)=\ln\left(\frac{e^{3} - 1}{e^{3}}\times \frac{e}{e - 1}\right)

         =ln(e3−1e−1×1e2)=ln(e3−1e−1)+ln(1e2)=ln(e3−1e−1)−2 \ \ \ =\ln\left(\frac{e^{3} - 1}{e - 1}\times \frac{1}{e^{2}}\right)=\ln\left(\frac{e^{3} - 1}{e - 1}\right)+\ln\left(\frac{1}{e^{2}}\right)=\ln\left(\frac{e^{3} - 1}{e - 1}\right) - 2

      d'où ln(e3−1e−1)−2⩽∫13f(x)dx⩽3ln(e3−1e−1)−6\ln\left(\frac{e^{3} - 1}{e - 1}\right) - 2 \leqslant \int_{1}^{3}f\left(x\right)dx \leqslant 3\ln\left(\frac{e^{3} - 1}{e - 1}\right) - 6

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