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Graphes probabilistes - Bac blanc ES Sujet 5 - Maths-cours 2018 (spé)

Exercice 2 (5 points)

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Depuis le début de l'année 2015, une agence bancaire propose à ses clients, titulaires d'une carte de crédit, une assurance « Tranquillité » qui leur permet d'être mieux indemnisé en cas de perte ou de vol de leur carte.

De 2015 à 2017, on a constaté que :

On suppose que cette évolution se poursuivra de manière identique durant les années à venir.

On sélectionne au hasard un client titulaire d'une carte de crédit et, pour tout entier naturel nn, on note :

Au début de l'année 2015, aucun client n'a encore souscrit à l'assurance « Tranquillité ».
On a donc P0=(01)P_0=\left(0 \quad 1\right).

Partie A

  1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets TT et T\overline{T}TT correspond à l'état " le client a souscrit à l'assurance « Tranquillité » " et T\overline{T} correspond à l'état contraire.

  2. Déterminer la matrice de transition MM associée à ce graphe, les sommets TT et T\overline{T} étant classés dans cet ordre.

  3. Déterminer l'état stable de ce graphe probabiliste.
    Que peut-on en conclure concernant le pourcentage de clients qui souscriront à l'assurance « Tranquillité » dans les années futures ?

Partie B

Le directeur de l'agence cherche à déterminer au début de quelle année plus de 70% des titulaires d'une carte de crédit auront souscrit à l'assurance « Tranquillité ».

  1. Recopier et compléter l'algorithme ci-après afin qu'il réponde à l'interrogation du directeur.

    Algorithme

  2. On admet que pour tout entier naturel nn :

    an=0,8(10,75n). a_{n}=0,8(1 - 0,75^n).

    Déterminer la valeur affichée par l'algorithme de la question précédente.

Corrigé

Partie A

  1. On traduit les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets TT et T\overline{T}:

    Graphe probabiliste

  2. La matrice de transition de ce graphe en considérant les sommets dans l'ordre TT, T\overline{T} est:

    M=(0,950,050,20,8). M= \begin{pmatrix} 0,95 & 0,05\\ 0,2 & 0,8 \end{pmatrix}.

  3. Les états stables sont les matrices-ligne P=(ab)P = (a\quad b) telles que a+b=1{a + b = 1} et PM=P{PM = P}.

    PM=P(ab)×(0,950,050,20,8)PM=P \Leftrightarrow \begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,95 & 0,05 \\ 0,2 & 0,8 \end{pmatrix} =(ab)=\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}

    PM=P(0,95a+0,2b0,05a+0,8b)\phantom{PM=P} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 0,95a+0,2b & 0,05a+0,8b\end{pmatrix} =(ab)=\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}

    PM=P{0,95a+0,2b=a0,05a+0,8b=b\phantom{PM=P} \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{r c l} 0,95a+0,2b &=& a\\ 0,05a+0,8b &=& b \end{array} \right.

    PM=P{0,05a+0,2b=00,05a0,2b=0\phantom{PM=P} \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{r c l} - 0,05a+0,2b &=& 0\\ 0,05a - 0,2b &=& 0 \end{array} \right.

    PM=P0,05a0,2b=0\phantom{PM=P} \Leftrightarrow 0,05a - 0,2b = 0.

    Or a+b=1a+b=1 ; donc b=1ab=1 - a et:

    0,05a0,2(1a)=00,05a - 0,2(1 - a) = 0

    0,25a0,2=00,25a - 0,2 = 0

    a=0,20.25=0,8a = \dfrac{0,2}{0.25}=0,8.

    Et b=1a=10,8=0,2b=1 - a=1 - 0,8=0,2.

    L'état stable du graphe est donc P=(0,80,2)P=\begin{pmatrix} 0,8 & 0,2 \end{pmatrix}.

    Au fil du temps, le pourcentage de clients qui choisiront l'assurance « Tranquillité » se rapprochera de 80% (=0,8=0,8).

Partie B

  1. On complète l'algorithme comme suit :

    Algorithme

  2. L'algorithme affiche l'année à partir de laquelle plus de 70% des titulaires d'une carte de crédit auront souscrit à l'assurance « Tranquillité ».

    Pour trouver cette année, il nous faut donc résoudre l'inéquation an>0,7a_n > 0,7.

    D'après l'énoncé an=0,8(10,75n)a_{n}=0,8(1 - 0,75^n) donc :

    an>0,70,8(10,75n)>0,7a_n > 0,7 \Leftrightarrow 0,8(1 - 0,75^n) > 0,7
    an>0,7 10,75n>0,70,8\phantom{ a_n > 0,7 } \Leftrightarrow \ 1 - 0,75^n > \dfrac{0,7}{0,8}
    an>0,7 10,75n>78\phantom{ a_n > 0,7 } \Leftrightarrow \ 1 - 0,75^n > \dfrac{7}{8}
    an>0,7 0,75n>781\phantom{ a_n > 0,7 } \Leftrightarrow \ - 0,75^n > \dfrac{7}{8} - 1
    an>0,7 0,75n>18\phantom{ a_n > 0,7 } \Leftrightarrow \ - 0,75^n > - \dfrac{1}{8}
    an>0,7 0,75n<18\phantom{ a_n > 0,7 } \Leftrightarrow \ 0,75^n < \dfrac{1}{8}

    La fonction ln\ln étant strictement croissante sur ]0 ; +[]0~;~+\infty[ :

    an>0,7 ln(0,75n)<ln(18)a_n > 0,7 \Leftrightarrow \ \ln \left(0,75^n \right) < \ln \left(\dfrac{1}{8}\right)
    an>0,7 nln(0,75)<ln(8)\phantom{ a_n > 0,7 } \Leftrightarrow \ n\ln (0,75) < - \ln (8)

    Or 0,9<10,9 < 1 donc ln(0,75)\ln (0,75) est strictement négatif ; par conséquent :

    an>0,7 n>ln(8)ln(0,75)a_n > 0,7 \Leftrightarrow \ n > \dfrac{ - \ln (8)}{\ln (0,75)}

    À la calculatrice : ln(8)ln(0,75)17,2\dfrac{ - \ln (8)}{\ln (0,75)} - 1 \approx 7,2 (arrondi au dixième).

    La plus petite valeur de l'entier nn telle que an>0,7a_n > 0,7, est donc 88.

    Par conséquent, l'algorithme affichera l'année 2015+8=2023.