Primitives et intégrales
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1. Primitives d'une fonction
Définition
Soit $ f $ une fonction définie sur $ I $.
On dit que $ F $ est une primitive de $ f $ sur l'intervalle $ I $, si et seulement si $ F $ est dérivable sur $ I $ et pour tout $ x $ de $ I $, $ F^{\prime}(x)=f(x) $.
Exemple
La fonction $ F : x\mapsto x^{2} $ est une primitive de la fonction $ f : x\mapsto 2x $ sur $ \mathbb{R} $.
La fonction $ G : x\mapsto x^{2}+1 $ est aussi une primitive de cette même fonction $ f $.
Propriété
Si $ F $ est une primitive de $ f $ sur $ I $, alors les autres primitives de $ f $ sur $ I $ sont les fonctions de la forme $ F+k $ où $ k\in \mathbb{R} $.
Remarque
Une fonction continue ayant une infinité de primitives, il ne faut pas dire la primitive de $ f $ mais une primitive de $ f $.
Exemple
Les primitives de la fonction $ f : x\mapsto 2x $ sont les fonctions $ F : x\mapsto x^{2}+k $ où $ k \in \mathbb{R} $.
Propriété
Toute fonction continue sur un intervalle $ I $ admet des primitives sur $ I $.
Propriété
Si $ f $ et $ g $ sont deux fonctions définies sur $ I $ et admettant respectivement $ F $ et $ G $ comme primitives sur $ I $ et $ k $ un réel quelconque.
- $ F+G $ est une primitive de la fonction $ f+g $ sur $ I $.
- $ kF $ est une primitive de la fonction $ kf $ sur $ I $.
Propriété
Primitives des fonctions usuelles
Dans le tableau ci-dessous, $ k $ désigne un réel quelconque et $ I $ est un intervalle sur lequel la fonction $ f $ est définie.
| Fonction $ f $ | Une primitive $ F $ | Intervalle $ I $ |
| $ f(x)=k $ | $ F(x)=kx $ | $ \mathbb{R} $ |
| $ f(x)=x^{n} $, $ n \in \mathbb{N} $ | $ F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} $ | $ \mathbb{R} $ |
| $ f(x)=\dfrac{1}{x^{n}} $, $ n \geqslant 2 $ | $ F(x)=-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}} $ | $ ]0\,;+\infty[ $ ou $ ]-\infty\,;0[ $ |
| $ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}} $ | $ F(x)=2\sqrt{x} $ | $ ]0\,;+\infty[ $ |
| $ f(x)=\dfrac{1}{x} $ | $ F(x)=\ln(x) $ | $ ]0\,;+\infty[ $ |
| $ f(x)=e^{x} $ | $ F(x)=e^{x} $ | $ \mathbb{R} $ |
Propriété
Primitives de fonctions composées
Soit $ u $ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $ I $.
- Les primitives de $ x \mapsto u^{\prime}(x)e^{u(x)} $ sont les fonctions $ x \mapsto e^{u(x)}+k $ (où $ k \in \mathbb{R} $).
- Les primitives de $ x \mapsto \dfrac{u^{\prime}(x)}{u(x)} $ sur un intervalle où $ u(x) > 0 $ sont les fonctions $ x \mapsto \ln(u(x))+k $.
- Pour tout entier $ n \geqslant 1 $, les primitives de $ x \mapsto u^{\prime}(x)\,(u(x))^{n} $ sont les fonctions $ x \mapsto \dfrac{(u(x))^{n+1}}{n+1}+k $.
Exemple
La fonction $ x\mapsto 2xe^{\left(x^{2}\right)} $ est de la forme $ u^{\prime}e^{u} $ avec $ u(x)=x^{2} $.
Ses primitives sont donc les fonctions $ x\mapsto e^{\left(x^{2}\right)}+k $ (où $ k \in \mathbb{R} $).
2. Intégrales
Définition
Soit $ f $ une fonction continue sur un intervalle $ [a;b] $ et $ F $ une primitive de $ f $ sur $ [a;b] $. L'intégrale de $ a $ à $ b $ de $ f $ est le nombre réel noté $ \int_{a}^{b}f(x)dx $ défini par :
Remarque
L'intégrale ne dépend pas de la primitive de $ f $ choisie.
En effet si $ G $ est une autre primitive de $ f $, on a $ G=F+k $ donc :
Définition
Notations
On note souvent : $ F(b) - F(a)=\left[F(x)\right]_{a}^{b} $
On obtient avec cette notation :
Exemple
La fonction $ F $ définie par $ F(x)=\dfrac{x^{3}}{3} $ est une primitive de la fonction carré.
On a donc :
Théorème
Théorème fondamental
Soit $ f $ une fonction continue sur un intervalle $ [a;b] $. La fonction $ F $ définie sur $ [a;b] $ par :
est dérivable sur $ [a;b] $ et a pour dérivée $ f $ : pour tout $ x $ de $ [a;b] $, $ F^{\prime}(x)=f(x) $.
Remarque
Ce théorème justifie que toute fonction continue admet des primitives : la fonction « aire » $ F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt $ en est une.
Lorsque $ f $ est continue et positive, $ F(x) $ est l'aire sous la courbe de $ f $ entre $ a $ et $ x $. Quand $ x $ augmente d'une petite quantité, l'aire grise gagne une fine bande de hauteur $ f(x) $ : sa croissance instantanée est exactement $ f(x) $, ce qui illustre $ F^{\prime}(x)=f(x) $.
3. Propriétés de l'intégrale
Propriété
Relation de Chasles
Soit $ f $ une fonction continue sur $ [a;b] $ et $ c\in \left[a;b\right] $.
Propriété
Linéarité de l'intégrale
Soit $ f $ et $ g $ deux fonctions continues sur $ [a;b] $ et $ \lambda \in \mathbb{R} $.
- $ \int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx $
- $ \int_{a}^{b} \lambda f(x)dx=\lambda \int_{a}^{b}f(x)dx $
Propriété
Comparaison d'intégrales
Soit $ f $ et $ g $ deux fonctions continues sur $ [a;b] $ telles que $ f\geqslant g $ sur $ [a;b] $.
Remarque
En particulier, en prenant pour $ g $ la fonction nulle on obtient si $ f(x)\geqslant 0 $ sur $ [a;b] $ :
4. Interprétation graphique
Définition
Le plan $ P $ est rapporté à un repère orthogonal $ (O,\vec{i},\vec{j}) $.
On appelle unité d'aire (u.a.) l'aire d'un rectangle dont les côtés mesurent $ ||\vec{i}|| $ et $ ||\vec{j}|| $.
Propriété
Si $ f $ est une fonction continue et positive sur $ [a;b] $, alors l'intégrale $ \int_{a}^{b}f(x)dx $ est l'aire, en unités d'aire, de la surface délimitée par :
- la courbe $ \mathcal{C}_{f} $
- l'axe des abscisses
- les droites (verticales) d'équations $ x=a $ et $ x=b $
Remarque
- Si $ f $ est négative sur $ [a;b] $, la propriété précédente appliquée à la fonction $ - f $ montre que $ \int_{a}^{b}f(x)dx $ est égale à l'opposé de l'aire délimitée par la courbe $ \mathcal{C}_{f} $, l'axe des abscisses, les droites d'équations $ x=a $ et $ x=b $
- Si le signe de $ f $ varie sur $ [a;b] $, on découpe $ [a;b] $ en sous-intervalles sur lesquels $ f $ garde un signe constant.
Propriété
Si $ f $ et $ g $ sont des fonctions continues et telles que $ f\leqslant g $ sur $ [a;b] $, alors l'aire de la surface délimitée par :
- la courbe $ \mathcal{C}_{f} $
- la courbe $ \mathcal{C}_{g} $
- les droites (verticales) d'équations $ x=a $ et $ x=b $
est égale (en unités d'aire) à :
Définition
Valeur moyenne d'une fonction
Soit $ f $ une fonction continue sur un intervalle $ [a;b] $ avec $ a<b $. La valeur moyenne de $ f $ sur $ [a;b] $ est le nombre réel :
Exemple
La valeur moyenne de la fonction $ f : x \mapsto x^{2} $ sur $ [0;3] $ est :
Exemple
$ f $ et $ g $ définies par $ f(x)=x^{2} - x $ et $ g(x)=3x - x^{2} $ sont représentées par les paraboles ci-dessous.
L'aire colorée est égale (en unités d'aire) à :
Les questions essentielles
1. Comment déterminer une primitive d'une fonction usuelle ?
On identifie la forme de $ f(x) $ (puissance, inverse, exponentielle…), on précise l'intervalle, puis on applique le tableau des primitives usuelles. La linéarité permet de traiter les sommes et produits par une constante.
Voir la fiche méthode : Déterminer une primitive d'une fonction usuelle
2. Comment reconnaître une primitive de fonction composée ?
On cherche à mettre $ f $ sous l'une des trois formes : $ u^{\prime}\,e^{u} $, $ \dfrac{u^{\prime}}{u} $ ou $ u^{\prime}\,u^{n} $. On ajuste si nécessaire le coefficient multiplicatif pour faire apparaître exactement $ u^{\prime} $.
Voir la fiche méthode : Déterminer une primitive d'une fonction composée
3. Comment calculer une intégrale ?
On détermine une primitive $ F $ de $ f $, puis on applique $ \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx = F(b) - F(a) $. La linéarité et la relation de Chasles aident à simplifier le calcul.
Voir la fiche méthode : Calculer une intégrale
4. Comment calculer l'aire sous une courbe ?
On étudie d'abord le signe de $ f $ sur l'intervalle. Si $ f \geqslant 0 $, l'aire est l'intégrale ; si $ f \leqslant 0 $, c'est l'opposé de l'intégrale ; si $ f $ change de signe, on découpe avec Chasles.
Voir la fiche méthode : Calculer une aire sous une courbe
5. Comment calculer l'aire entre deux courbes ?
On étudie la position relative des deux courbes (signe de $ g - f $), puis on intègre la différence (courbe du dessus moins courbe du dessous). Si la position s'inverse, on découpe avec Chasles.
Voir la fiche méthode : Calculer une aire entre deux courbes
6. Comment calculer la valeur moyenne d'une fonction ?
On applique la formule $ \mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx $ : on calcule l'intégrale, puis on divise par la longueur de l'intervalle.
Voir la fiche méthode : Calculer la valeur moyenne d'une fonction
7. Comment approcher une intégrale par la méthode des rectangles ?
On découpe l'intervalle $ [a;b] $ en sous-intervalles de même largeur, puis on somme les aires des rectangles construits sur chacun d'eux. Plus le nombre de rectangles est grand, plus l'approximation est précise.
Voir la fiche méthode : Approcher une intégrale par la méthode des rectangles