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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonctions - Bac S Pondichéry 2014

Exercice 4   (7 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

ff est une fonction définie et dérivable sur R\mathbb{R}. ff^{\prime} est la fonction dérivée de la fonction ff.

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on nomme C1\mathscr C_{1} la courbe représentative de la fonction ff et C2\mathscr C_{2} la courbe représentative de la fonction ff^{\prime}.

Le point A de coordonnées (0 ; 2) appartient à la courbe C1\mathscr C_{1}.

Le point B de coordonnées (0 ; 1) appartient à la courbe C2\mathscr C_{2}.

  1. Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative C1\mathscr C_{1} de la fonction ff. Sur l'une d'entre elles, la courbe C2\mathscr C_{2} de la fonction dérivée ff^{\prime} est tracée convenablement.

    Laquelle ? Expliquer le choix effectué.

    Fonctions - Bac S Pondichéry 2014 - 1
    Situation 1

    Fonctions - Bac S Pondichéry 2014 - 2
    Situation 2

    Fonctions - Bac S Pondichéry 2014 - 3
    Situation 3

  2. Déterminer l'équation réduite de la droite Δ\Delta tangente à la courbe C1\mathscr C_{1} en A.

  3. On sait que pour tout réel x,:f(x)=ex+ax+bx,: f\left(x\right)=e^{ - x}+ax+baa et bb sont deux nombres réels.

    1. Déterminer la valeur de bb en utilisant les renseignements donnés par l'énoncé.

    2. Prouver que a=2a=2

  4. Étudier les variations de la fonction ff sur R\mathbb{R}.

  5. Déterminer la limite de la fonction ff en ++ \infty .

Partie B

Soit gg la fonction définie sur R\mathbb{R} par g(x)=f(x)(x+2)g\left(x\right)=f\left(x\right) - \left(x+2\right).

    1. Montrer que la fonction gg admet 00 comme minimum sur R\mathbb{R}.

    2. En déduire la position de la courbe C1\mathscr C_{1} par rapport à la droite Δ\Delta .

      La figure 2 ci-dessous représente le logo d'une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s'est servi de la courbe C1\mathscr C_{1} et de la droite Δ\Delta , comme l'indique la figure 3 ci-dessous. Afin d'estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l'aire de la partie colorée en bleu.

      Fonctions - Bac S Pondichéry 2014 - 4
      Figure 2

      Fonctions - Bac S Pondichéry 2014 - 5
      Figure 3


      Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où :

      - D est le point de coordonnées (2;0)\left( - 2 ; 0\right),

      - E est le point de coordonnées (2 ; 0),

      - F est le point d'abscisse 2 de la courbe C1\mathscr C_{1},

      - G est le point d'abscisse 2 - 2 de la courbe C2\mathscr C_{2}.

      La partie du logo colorée en bleu correspond à la surface située entre la droite Δ\Delta , la courbe C1\mathscr C_{1}, la droite d'équation x=2x = - 2 et la droite d'équation x=2x=2

  1. Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du logo colorée en bleu (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10210^{ - 2} du résultat)