$f$ est dérivable comme produit de fonctions dérivables.

Si on pose $u\left(x\right)=x$ et $v\left(x\right)=e^{ - x}$ on a $u^{\prime}\left(x\right)=1$, $v^{\prime}\left(x\right)= - e^{ - x}$ et :

$f^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)=e^{ - x} - xe^{ - x}=\left(1 - x\right)e^{ - x}$

$e^{ - x}$ est toujours positif donc $f^{\prime}\left(x\right)$ est du signe de $1 - x$ c'est à dire positif ou nul si et seulement si $x\leqslant 1$.

$f\left(1\right)=e^{ - 1}=\frac{1}{e}$

On obtient le tableau de variation suivant :

$f^{\prime}\left(x\right)=e^{ - x} - xe^{ - x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :

$f^{\prime\prime}\left(x\right)= - e^{ - x} - \left(e^{ - x} - xe^{ - x}\right)$ (calcul analogue à la question 1.)

$f^{\prime\prime}\left(x\right)= - 2e^{ - x}+xe^{ - x}=\left(x - 2\right)e^{ - x}$

$f^{\prime\prime}$ s'annule pour $x=2$, est négative si $x < 2$ et positive si $x > 2$.

Donc la courbe $\mathscr C_{f}$ admet un point d'inflexion $A$ d'abscisse $2$.

L'ordonnée de $A$ est $f\left(2\right)=2e^{ - 2}=\frac{2}{e^{2}}$