Convexité et point d’inflexion

$ f $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ et :

$ f^{\prime}\left(x\right)=2e^{x - 1} - 2x - 1 $

$ f^{\prime} $ est également dérivable sur $ \mathbb{R} $ et :

$ f^{\prime\prime}\left(x\right)=2e^{x - 1} - 2 $

$ f $ est convexe si et seulement si :

$ f^{\prime\prime}\left(x\right)\geqslant 0 \Leftrightarrow 2e^{x - 1} - 2\geqslant 0 $

$ \Leftrightarrow 2e^{x - 1}\geqslant 2 $

$ \Leftrightarrow e^{x - 1}\geqslant 1 $

$ \Leftrightarrow e^{x - 1}\geqslant e^{0} $

$ \Leftrightarrow x - 1\geqslant 0 $   (car la fonction exponentielle est strictement croissante)

$ \Leftrightarrow x\geqslant 1 $

Donc $ f $ est convexe sur $ \left[1;+\infty \right[ $

Inversement, $ f $ est concave si et seulement si $ x\leqslant 1 $

Le point d'inflexion correspond au passage de convexe à concave (ou de concave à convexe). D'après la question précédente, le point d'inflexion est le point de la courbe qui a comme abscisse $ 1 $.

L'ordonnée de ce point est $ f\left(1\right)=2e^{0} - 1^{2} - 1=0 $

Le point d'inflexion est donc $ A\left(1;0\right) $

L'équation de la tangente (T) à $ \mathscr C $ au point $ A\left(1;0\right) $ est donnée par la formule :

$ y=f^{\prime}\left(1\right)\left(x - 1\right)+f\left(1\right) $

avec $ f^{\prime}\left(1\right)=2e^{0} - 2\times 1 - 1= - 1 $ et $ f\left(1\right)=0 $

ce qui donne :

$ y= - x+1 $

Pour $ x\geqslant 1 $ la fonction $ f $ est convexe, donc la courbe est située au-dessus de la tangente $ (T) $.

Cela se traduit par : $ f\left(x\right)\geqslant - x+1 $

c'est-à-dire :

$ 2e^{x - 1} - x^{2} - x\geqslant - x+1 $

$ 2e^{x - 1}\geqslant x^{2}+x - x+1 $

$ 2e^{x - 1}\geqslant x^{2}+1 $

$ e^{x - 1}\geqslant \dfrac{1}{2}\left(x^{2}+1\right) $