$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :

$f^{\prime}\left(x\right)=2e^{x - 1} - 2x - 1$

$f^{\prime}$ est également dérivable sur $\mathbb{R}$ et :

$f^{\prime\prime}\left(x\right)=2e^{x - 1} - 2$

$f$ est convexe si et seulement si :

$f^{\prime\prime}\left(x\right)\geqslant 0 \Leftrightarrow 2e^{x - 1} - 2\geqslant 0$

$\Leftrightarrow 2e^{x - 1}\geqslant 2$

$\Leftrightarrow e^{x - 1}\geqslant 1$

$\Leftrightarrow e^{x - 1}\geqslant e^{0}$

$\Leftrightarrow x - 1\geqslant 0$   (car la fonction exponentielle est strictement croissante)

$\Leftrightarrow x\geqslant 1$

Donc $f$ est convexe sur $\left[1;+\infty \right[$

Inversement, $f$ est concave si et seulement si $x\leqslant 1$

Le point d'inflexion correspond au passage de connexe à concave (ou de concave à connexe). D'après la question précédente, le point d'inflexion est le point de la courbe qui a comme abscisse $1$.

L'ordonnée de ce point est $f\left(1\right)=2e^{0} - 1^{2} - 1=0$

Le point d'inflexion est donc $A\left(1;0\right)$

L'équation de la tangente (T) à $\mathscr C$ au point $A\left(1;0\right)$ est donnée par la formule :

$y=f^{\prime}\left(1\right)\left(x - 1\right)+f\left(1\right)$

avec $f^{\prime}\left(1\right)=2e^{0} - 2\times 1 - 1= - 1$ et $f\left(1\right)=0$

ce qui donne :

$y= - x+1$

Pour $x\geqslant 1$ la fonction est convexe, donc la courbe est situé au-dessus de la tangente (T).

Cela se traduit par : $f\left(x\right)\geqslant - x+1$

c'est à dire :

$2e^{x - 1} - x^{2} - x\geqslant - x+1$

$2e^{x - 1}\geqslant x^{2}+x - x+1$

$2e^{x - 1}\geqslant x^{2}+1$

$e^{x - 1}\geqslant \frac{1}{2}\left(x^{2}+1\right)$