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Tle Complément.

Cours

Fonctions : Dérivées - Convexité

I. Fonction convexe - Fonction concave

Définition

Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et \mathscr C_{f} sa courbe représentative.

  • On dit que f est convexe sur I si la courbe \mathscr C_{f} est au-dessus de toutes ses tangentes sur l'intervalle I.

  • On dit que f est concave sur I si la courbe \mathscr C_{f} est au-dessous de toutes ses tangentes sur l'intervalle I.

Exemples

fonction convexe

Fonction convexe (et quelques tangentes...)

fonction concave

Fonction concave (et quelques tangentes...)

Théorème

Si f est dérivable sur I :

  • f est convexe sur I si et seulement si f^{\prime} est croissante sur I

  • f est concave sur I si et seulement si f^{\prime} est décroissante sur I

Remarque

L'étude de la convexité se ramène donc à l'étude des variations de f^{\prime}. Si f^{\prime} est dérivable, on donc est amené a étudier le signe la dérivée de f^{\prime}. Cette dérivée s'appelle la dérivée seconde de f et se note f^{\prime\prime}.

Théorème

Si f est dérivable sur I et si f^{\prime} est dérivable sur I (on dit aussi que f est 2 fois dérivable

sur I) :

  • f est convexe sur I si et seulement si f^{\prime\prime} est positive ou nulle sur I

  • f est concave sur I si et seulement si f^{\prime\prime} est négative ou nulle sur I

Exemples

  • La fonction f : x \mapsto x^{2} est deux fois dérivable sur \mathbb{R}.

    f^{\prime}\left(x\right)=2x et f^{\prime\prime}\left(x\right)=2.

    Comme f^{\prime\prime} est positive sur \mathbb{R}, f est convexe sur \mathbb{R}.

  • La fonction f : x \mapsto x^{3} est deux fois dérivable sur \mathbb{R}.

    f^{\prime}\left(x\right)=3x^{2} et f^{\prime\prime}\left(x\right)=6x.

    f^{\prime\prime}\geqslant 0 sur \left[0; +\infty \right[, donc f est convexe sur \left[0; +\infty \right[.

    f^{\prime\prime}\leqslant 0 sur \left]-\infty ; 0\right], donc f est concave sur \left]-\infty ; 0\right].

II. Point d'inflexion

Définition

Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I, \mathscr C_{f} sa courbe représentative et A\left(a;f\left(a\right)\right) un point de la courbe \mathscr C_{f} .

On dit que A est un point d'inflexion de la courbe \mathscr C_{f}, si et seulement si la courbe \mathscr C_{f} traverse sa tangente en A.

Exemple

point d'inflexion

Point d'inflexion en A

Propriété

Si A est un point d'inflexion d'abscisse a, f passe de concave à convexe ou de convexe à concave en a.

Théorème

Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I de courbe représentative \mathscr C_{f}. Le point A d'abscisse a est un point d'inflexion de \mathscr C_{f} si et seulement si f^{\prime\prime} s'annule et change de signe en a.

Exemple

Le graphique de l'exemple précédent correspond à la fonction définie par :

f\left(x\right)=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}+1

On a f^{\prime}\left(x\right)=x^{2}-2x et f^{\prime\prime}\left(x\right)=2x-2.

On vérifie bien que f^{\prime\prime} change de signe en 1. Donc le point A d'abscisse 1 et d'ordonnée f\left(1\right)=\frac{1}{3} est bien un point d'inflexion.

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Dans ce chapitre...

Exercices

  • facileConvexité - Lecture graphique
  • moyenConvexité et point d'inflexion
  • moyenEtude de fonction et point d'inflexion
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