I. Fonction convexe - Fonction concave
Définition
Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et \mathscr C_{f} sa courbe représentative.
On dit que f est convexe sur I si la courbe \mathscr C_{f} est au-dessus de toutes ses tangentes sur l'intervalle I.
On dit que f est concave sur I si la courbe \mathscr C_{f} est au-dessous de toutes ses tangentes sur l'intervalle I.
Exemples
Fonction convexe (et quelques tangentes...)
Fonction concave (et quelques tangentes...)
Théorème
Si f est dérivable sur I :
f est convexe sur I si et seulement si f^{\prime} est croissante sur I
f est concave sur I si et seulement si f^{\prime} est décroissante sur I
Remarque
L'étude de la convexité se ramène donc à l'étude des variations de f^{\prime}. Si f^{\prime} est dérivable, on donc est amené a étudier le signe la dérivée de f^{\prime}. Cette dérivée s'appelle la dérivée seconde de f et se note f^{\prime\prime}.
Théorème
Si f est dérivable sur I et si f^{\prime} est dérivable sur I (on dit aussi que f est 2 fois dérivable
sur I) :
f est convexe sur I si et seulement si f^{\prime\prime} est positive ou nulle sur I
f est concave sur I si et seulement si f^{\prime\prime} est négative ou nulle sur I
Exemples
La fonction f : x \mapsto x^{2} est deux fois dérivable sur \mathbb{R}.
f^{\prime}\left(x\right)=2x et f^{\prime\prime}\left(x\right)=2.
Comme f^{\prime\prime} est positive sur \mathbb{R}, f est convexe sur \mathbb{R}.
La fonction f : x \mapsto x^{3} est deux fois dérivable sur \mathbb{R}.
f^{\prime}\left(x\right)=3x^{2} et f^{\prime\prime}\left(x\right)=6x.
f^{\prime\prime}\geqslant 0 sur \left[0; +\infty \right[, donc f est convexe sur \left[0; +\infty \right[.
f^{\prime\prime}\leqslant 0 sur \left]-\infty ; 0\right], donc f est concave sur \left]-\infty ; 0\right].
II. Point d'inflexion
Définition
Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I, \mathscr C_{f} sa courbe représentative et A\left(a;f\left(a\right)\right) un point de la courbe \mathscr C_{f} .
On dit que A est un point d'inflexion de la courbe \mathscr C_{f}, si et seulement si la courbe \mathscr C_{f} traverse sa tangente en A.
Exemple
Point d'inflexion en A
Propriété
Si A est un point d'inflexion d'abscisse a, f passe de concave à convexe ou de convexe à concave en a.
Théorème
Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I de courbe représentative \mathscr C_{f}. Le point A d'abscisse a est un point d'inflexion de \mathscr C_{f} si et seulement si f^{\prime\prime} s'annule et change de signe en a.
Exemple
Le graphique de l'exemple précédent correspond à la fonction définie par :
f\left(x\right)=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}+1On a f^{\prime}\left(x\right)=x^{2}-2x et f^{\prime\prime}\left(x\right)=2x-2.
On vérifie bien que f^{\prime\prime} change de signe en 1. Donc le point A d'abscisse 1 et d'ordonnée f\left(1\right)=\frac{1}{3} est bien un point d'inflexion.
