Convexité
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1. Définition par les cordes
Définition
Soient $ f $ une fonction définie sur un intervalle $ I $ et $ \mathcal{C}_{f} $ sa courbe représentative. Une corde de $ \mathcal{C}_{f} $ est un segment $ [AB] $ joignant deux points $ A $ et $ B $ de la courbe.
- On dit que $ f $ est convexe sur $ I $ si, pour tout choix de deux points $ A $ et $ B $ de $ \mathcal{C}_{f} $, la courbe $ \mathcal{C}_{f} $ est située au-dessous de la corde $ [AB] $.
- On dit que $ f $ est concave sur $ I $ si, pour tout choix de deux points $ A $ et $ B $ de $ \mathcal{C}_{f} $, la courbe $ \mathcal{C}_{f} $ est située au-dessus de la corde $ [AB] $.
Remarque
En appliquant la définition au point d'abscisse égale au milieu de $ [AB] $, on obtient l'inégalité de convexité : si $ f $ est convexe sur $ I $, alors pour tous réels $ x $ et $ y $ de $ I $,
Autrement dit, l'image du milieu de $ [x\,;y] $ est inférieure ou égale à la moyenne des images : l'ordonnée du point de la courbe est sous l'ordonnée du milieu de la corde. Pour une fonction concave, l'inégalité est inversée ($ \geqslant $).
Exemple
Soit $ f : x \mapsto x^{2} $. Prenons $ x=2 $ et $ y=4 $. Le milieu de $ [x\,;y] $ a pour abscisse $ \dfrac{2+4}{2}=3 $.
D'une part, $ f(3)=9 $.
D'autre part, $ \dfrac{f(2)+f(4)}{2}=\dfrac{4+16}{2}=10 $.
On a bien $ 9 \leqslant 10 $, ce qui illustre l'inégalité de convexité : la fonction carré est convexe sur $ \mathbb{R} $.
2. Position de la courbe par rapport aux tangentes
Définition
Soient $ f $ une fonction dérivable sur un intervalle $ I $ et $ \mathcal{C}_{f} $ sa courbe représentative.
- On dit que $ f $ est convexe sur $ I $ si la courbe $ \mathcal{C}_{f} $ est au-dessus de toutes ses tangentes sur l'intervalle $ I $.
- On dit que $ f $ est concave sur $ I $ si la courbe $ \mathcal{C}_{f} $ est au-dessous de toutes ses tangentes sur l'intervalle $ I $.
La fonction est convexe : sa courbe reste au-dessus de chacune de ses tangentes.
La fonction est concave : sa courbe reste au-dessous de chacune de ses tangentes.
Remarque
Lorsque $ f $ est dérivable, cette caractérisation par les tangentes est équivalente à la définition par les cordes vue à la section précédente : une fonction convexe a sa courbe sous chacune de ses cordes et au-dessus de chacune de ses tangentes. C'est ce point de vue par les tangentes qui permet de relier la convexité aux variations de $ f^{\prime} $.
Théorème
Si $ f $ est dérivable sur $ I $ :
- $ f $ est convexe sur $ I $ si et seulement si $ f^{\prime} $ est croissante sur $ I $
- $ f $ est concave sur $ I $ si et seulement si $ f^{\prime} $ est décroissante sur $ I $
Remarque
L'étude de la convexité se ramène donc à l'étude des variations de $ f^{\prime} $. Si $ f^{\prime} $ est dérivable, on est donc amené à étudier le signe de la dérivée de $ f^{\prime} $. Cette dérivée s'appelle la dérivée seconde de $ f $ et se note $ f^{\prime\prime} $.
Théorème
Si $ f $ est dérivable sur $ I $ et si $ f^{\prime} $ est dérivable sur $ I $ (on dit aussi que $ f $ est 2 fois dérivable sur $ I $) :
- $ f $ est convexe sur $ I $ si et seulement si $ f^{\prime\prime} $ est positive ou nulle sur $ I $
- $ f $ est concave sur $ I $ si et seulement si $ f^{\prime\prime} $ est négative ou nulle sur $ I $
Exemple
La fonction $ f : x \mapsto x^{2} $ est deux fois dérivable sur $ \mathbb{R} $.
$ f^{\prime}(x)=2x $ et $ f^{\prime\prime}(x)=2 $.
Comme $ f^{\prime\prime} $ est positive sur $ \mathbb{R} $, $ f $ est convexe sur $ \mathbb{R} $.
La fonction $ g : x \mapsto x^{3} $ est deux fois dérivable sur $ \mathbb{R} $.
$ g^{\prime}(x)=3x^{2} $ et $ g^{\prime\prime}(x)=6x $.
$ g^{\prime\prime} \geqslant 0 $ sur $ [0\,;+\infty[ $, donc $ g $ est convexe sur $ [0\,;+\infty[ $.
$ g^{\prime\prime} \leqslant 0 $ sur $ ]-\infty\,;0] $, donc $ g $ est concave sur $ ]-\infty\,;0] $.
3. Point d'inflexion
Définition
Soient $ f $ une fonction dérivable sur un intervalle $ I $, $ \mathcal{C}_{f} $ sa courbe représentative et $ A(a;f(a)) $ un point de la courbe $ \mathcal{C}_{f} $.
On dit que $ A $ est un point d'inflexion de la courbe $ \mathcal{C}_{f} $, si et seulement si la courbe $ \mathcal{C}_{f} $ traverse sa tangente en $ A $.
Propriété
Si $ A $ est un point d'inflexion d'abscisse $ a $, $ f $ passe de concave à convexe ou de convexe à concave en $ a $.
Théorème
Soit $ f $ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $ I $ de courbe représentative $ \mathcal{C}_{f} $. Le point $ A $ d'abscisse $ a $ est un point d'inflexion de $ \mathcal{C}_{f} $ si et seulement si $ f^{\prime\prime} $ s'annule et change de signe en $ a $.
Exemple
On considère la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par :
On a $ f^{\prime}(x)=x^{2} - 2x $ et $ f^{\prime\prime}(x)=2x - 2 $.
On vérifie que $ f^{\prime\prime} $ s'annule et change de signe en $ 1 $. Donc le point $ A $ d'abscisse $ 1 $ et d'ordonnée $ f(1)=\dfrac{1}{3} $ est un point d'inflexion.
Les questions essentielles
1. Comment calculer la dérivée seconde d'une fonction ?
On dérive d'abord la fonction $f$ pour obtenir $f^{\prime}$, puis on dérive à nouveau $f^{\prime}$ pour obtenir $f^{\prime\prime}$. Les règles de dérivation usuelles s'appliquent à chaque étape.
Voir la fiche méthode : Calculer la dérivée seconde d'une fonction
2. Comment étudier les variations d'une fonction à l'aide de sa dérivée ?
On calcule $f^{\prime}(x)$, on étudie son signe sur l'intervalle d'étude, puis on en déduit le sens de variation : $f$ est croissante là où $f^{\prime} \geqslant 0$, décroissante là où $f^{\prime} \leqslant 0$.
Voir la fiche méthode : Étudier les variations d'une fonction à l'aide de sa dérivée
3. Comment étudier la convexité d'une fonction ?
On calcule la dérivée seconde $f^{\prime\prime}(x)$, puis on détermine son signe. Sur les intervalles où $f^{\prime\prime} \geqslant 0$, $f$ est convexe ; sur les intervalles où $f^{\prime\prime} \leqslant 0$, $f$ est concave.
Voir la fiche méthode : Étudier la convexité d'une fonction
4. Comment trouver un point d'inflexion ?
On cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles $f^{\prime\prime}(x) = 0$, puis on vérifie que $f^{\prime\prime}$ change de signe en ces valeurs. Si c'est le cas, le point $A(a\,;\,f(a))$ est un point d'inflexion de la courbe.
Voir la fiche méthode : Déterminer un point d'inflexion
5. Comment lire la convexité d'une fonction sur un graphique ?
Selon la courbe fournie : sur la courbe de $f$, on repère les portions « en bol » (convexe) ou « en bosse » (concave) ; sur celle de $f^{\prime}$, on suit ses variations ; sur celle de $f^{\prime\prime}$, on observe son signe par rapport à l'axe des abscisses.
Voir la fiche méthode : Lire graphiquement la convexité d'une fonction