Exercice corrigéLe but de cet exercice est de démontrer le résultat suivant :
Si d une droite d’équation ax+by+c=0, le vecteur \vec{u} de coordonnées \left(-b ; a\right) est un vecteur directeur de la droite d.
Dans le plan, muni d’un repère \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right), on considère la droite d d’équation ax+by+c=0 et A\left(x_{A} ; y_{A}\right) un point de d.
- Montrer que le point B de coordonnées \left(x_{A}-b ; y_{A}+a\right) appartient à la droite d.
- En déduire que le vecteur \vec{u}\left(-b ; a\right) est un vecteur directeur de d.
Corrigé
- Le point A appartient à la droite d donc ses coordonnées vérifient l’équation de d, c’est à dire que ax_{A}+by_{A}+c=0
Posons x_{B}=x_{A}-b et y_{B} = y_{A}+a. Alors :
ax_{B}+by_{B}+c=a\left(x_{A}-b\right)+b\left(y_{A}+a\right)+c=ax_{A}-ab+by_{A}+ab+c=ax_{A}+by_{A}+c=0
Par conséquent le point B appartient également à la droite d. - Comme A et B appartiennent à la droite d, le vecteur \overrightarrow{AB} est un vecteur directeur de d.
Or les coordonnées de \overrightarrow{AB} sont \left(x_{B}-x_{A} ; y_{B}-y_{A}\right)=\left(-b ; a\right), ce qui prouve le résultat demandé.
