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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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[ROC] Equation cartésienne - Vecteur directeur

Le but de cet exercice est de démontrer le résultat suivant :

Si dd une droite d'équation ax+by+c=0ax+by+c=0, le vecteur u\vec{u} de coordonnées (b;a)\left( - b ; a\right) est un vecteur directeur de la droite dd.

Dans le plan, muni d'un repère (O;i,j)\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right), on considère la droite dd d'équation ax+by+c=0ax+by+c=0 et A(xA;yA)A\left(x_{A} ; y_{A}\right) un point de dd.

  1. Montrer que le point BB de coordonnées (xAb;yA+a)\left(x_{A} - b ; y_{A}+a\right) appartient à la droite dd.

  2. En déduire que le vecteur u(b;a)\vec{u}\left( - b ; a\right) est un vecteur directeur de dd.

Corrigé

  1. Le point AA appartient à la droite dd donc ses coordonnées vérifient l'équation de dd, c'est à dire que axA+byA+c=0ax_{A}+by_{A}+c=0

    Posons xB=xAbx_{B}=x_{A} - b et yB=yA+ay_{B} = y_{A}+a. Alors :

    axB+byB+c=a(xAb)+b(yA+a)+c=axAab+byA+ab+c=axA+byA+c=0ax_{B}+by_{B}+c=a\left(x_{A} - b\right)+b\left(y_{A}+a\right)+c=ax_{A} - ab+by_{A}+ab+c=ax_{A}+by_{A}+c=0

    Par conséquent le point BB appartient également à la droite dd.

  2. Comme AA et BB appartiennent à la droite dd, le vecteur AB\overrightarrow{AB} est un vecteur directeur de dd.

    Or les coordonnées de AB\overrightarrow{AB} sont (xBxA;yByA)=(b;a)\left(x_{B} - x_{A} ; y_{B} - y_{A}\right)=\left( - b ; a\right), ce qui prouve le résultat demandé.