[ROC] Equation cartésienne - Vecteur directeur
Le but de cet exercice est de démontrer le résultat suivant :
Si d une droite d'équation ax+by+c=0, le vecteur u⃗ de coordonnées (−b;a) est un vecteur directeur de la droite d.
Dans le plan, muni d'un repère (O;i⃗,j⃗), on considère la droite d d'équation ax+by+c=0 et A(xA;yA) un point de d.
Montrer que le point B de coordonnées (xA−b;yA+a) appartient à la droite d.
En déduire que le vecteur u⃗(−b;a) est un vecteur directeur de d.
Le point A appartient à la droite d donc ses coordonnées vérifient l'équation de d, c'est à dire que axA+byA+c=0
Posons xB=xA−b et yB=yA+a. Alors :
axB+byB+c=a(xA−b)+b(yA+a)+c=axA−ab+byA+ab+c=axA+byA+c=0
Par conséquent le point B appartient également à la droite d.
Comme A et B appartiennent à la droite d, le vecteur AB est un vecteur directeur de d.
Or les coordonnées de AB sont (xB−xA;yB−yA)=(−b;a), ce qui prouve le résultat demandé.
