Exercice corrigéSylvie souhaite s'inscrire à un club d'aquagym pour une année.
Le club propose trois formules tarifaires différentes :
- Formule « à la séance » : 12 € la séance
- Formule « carte » : 90 € par carte de 10 séances
- Formule « abonnement » : cotisation de 50 € puis 5 € par séance.
- Montrer que le coût total pour 8 séances est :
- 96 € avec la formule « à la séance »
- 90 € avec la formule « carte »
- 90 € avec la formule « abonnement ».
- Sylvie souhaite participer à 30 séances sur l'année. Quelle formule est la plus avantageuse ?
- Angélique s'inscrit également à ce club mais elle ne sait pas à l'avance à combien de séances elle va participer.
Elle souhaite cependant comparer les formules « à la séance » et « abonnement ».
Soit x le nombre de séances auxquelles Angélique participera.
Exprimer en fonction de x le coût total si elle choisit la formule « à la séance » puis le coût total si elle choisit la formule « abonnement ». - À partir de combien de séances la formule « abonnement » est-elle plus avantageuse que la formule « à la séance » ?
- On note f la fonction qui à x associe 12x et g la fonction qui a x associe 5x +50.
La fonction f est-elle une linéaire ? affine ?
Mêmes questions pour la fonction g. - Représenter les fonctions f et g dans un repère orthogonal en prenant pour unités 1 cm en abscisses et 1 mm en ordonnées.
Retrouver le résultat de la question 5 à l'aide de ce graphique.
Corrigé
- Calculons le coût total pour 8 séances :
- Avec la formule « à la séance » : Sylvie paiera 12 euros par séance donc au total :
8\times 12=96 euros. - Avec la formule « carte », Sylvie devra acheter une carte qui lui coûtera 90 euros (et il lui restera deux séances inutilisées).
- Avec la formule « abonnement », Sylvie paiera une cotisation de 50 euros puis 5 euros par séance soit au total :
50+8\times 5=50+40=90 euros.
- Avec la formule « à la séance » : Sylvie paiera 12 euros par séance donc au total :
- Le calcul est similaire pour 30 séances :
- Avec la formule « à la séance » : Sylvie paiera au total :
30\times 12=360 euros. - Avec la formule « carte », Sylvie devra acheter trois cartes qui lui coûteront 3\times 90=270 euros.
- Avec la formule « abonnement », Sylvie paiera au total :
50+30\times 5=50+150=200 euros.
Pour 30 séances, la formule « abonnement » est la plus avantageuse.
- Avec la formule « à la séance » : Sylvie paiera au total :
- Pour x séances :
- Avec la formule « à la séance » : Angélique paiera au total :
12\times x=12x euros. - Avec la formule « abonnement », Angélique paiera au total :
50+x\times 5=50+5x euros.
- Avec la formule « à la séance » : Angélique paiera au total :
- La formule « abonnement » est plus avantageuse que la formule « à la séance » dès lors que :
50+5x<12xOn soustrait 5x à chaque membre de l'inéquation :
50+5x-5x<12x-5x
50<7xOn divise chaque membre par 7 :
\frac{50}{7} < \frac{7x}{7}
\frac{50}{7} < xComme \frac{50}{7} \approx 7,1 , la formule « abonnement » sera plus intéressante à partir de 8 séances.
- La fonction f est : x \longmapsto 12x.
Elle est de la forme :x \longmapsto ax ; c'est donc une fonction linéaire et également une fonction affine (puisque les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières).La fonction g est : x \longmapsto 5x +50.
Elle est de la forme :x \longmapsto ax+b mais n'est pas de la forme : x \longmapsto ax; c'est donc une fonction affine mais non linéaire. - La fonction f est linéaire. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine. Il suffit d'un second point pour tracer cette droite ; par exemple le point de coordonnées (1;12) puisque f(1)=12.
La fonction g est affine et non linéaire. Sa représentation graphique est une droite ne passant pas par l'origine. Il suffit de deux points pour tracer cette droite ; par exemple les points de coordonnées (0;50) et (1;55) puisque f(0)=50 et f(1)=55.On obtient le graphique suivant :
La fonction f représente le coût de la formule « carte » et la fonction g représente le coût de la formule « abonnement ». On retrouve bien graphiquement que la formule « abonnement » est plus intéressante à compter de 8 séances.