Calculons le coût total pour 8 séances :

• Avec la formule « à la séance » : Sylvie paiera 12 euros par séance donc au total :

  $8\times 12=96$ euros.

• Avec la formule « carte », Sylvie devra acheter une carte qui lui coûtera $90$ euros (et il lui restera deux séances inutilisées).

• Avec la formule « abonnement », Sylvie paiera une cotisation de 50 euros puis 5 euros par séance soit au total :

  $50+8\times 5=50+40=90$ euros.

Le calcul est similaire pour 30 séances :

• Avec la formule « à la séance » : Sylvie paiera au total :

  $30\times 12=360$ euros.

• Avec la formule « carte », Sylvie devra acheter trois cartes qui lui coûteront $3\times 90=270$ euros.

• Avec la formule « abonnement », Sylvie paiera au total :

  $50+30\times 5=50+150=200$ euros.

Pour 30 séances, la formule « abonnement » est la plus avantageuse.

Pour $x$ séances :

• Avec la formule « à la séance » : Angélique paiera au total :

  $12\times x=12x$ euros.

• Avec la formule « abonnement », Angélique paiera au total :

  $50+x\times 5=50+5x$ euros.

La formule « abonnement » est plus avantageuse que la formule « à la séance » dès lors que :

$50+5x<12x$

On soustrait $5x$ à chaque membre de l'inéquation :

$50+5x - 5x<12x - 5x$

$50<7x$

On divise chaque membre par 7 :

$\frac{50}{7} < \frac{7x}{7}$

$\frac{50}{7} < x$

Comme $\frac{50}{7} \approx 7,1$, la formule « abonnement » sera plus intéressante à partir de 8 séances.

La fonction $f$ est : $x \longmapsto 12x$.

Elle est de la forme :$x \longmapsto ax$ ; c'est donc une fonction linéaire et également une fonction affine (puisque les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières).

La fonction $g$ est : $x \longmapsto 5x +50$.

Elle est de la forme :$x \longmapsto ax+b$ mais n'est pas de la forme : $x \longmapsto ax$; c'est donc une fonction affine mais non linéaire.

La fonction $f$ est linéaire. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine. Il suffit d'un second point pour tracer cette droite ; par exemple le point de coordonnées $(1;12)$ puisque $f(1)=12$.

La fonction $g$ est affine et non linéaire. Sa représentation graphique est une droite ne passant pas par l'origine. Il suffit de deux points pour tracer cette droite ; par exemple les points de coordonnées $(0;50)$ et $(1;55)$ puisque $f(0)=50$ et $f(1)=55$.

On obtient le graphique suivant :

La fonction $f$ représente le coût de la formule « carte » et la fonction $g$ représente le coût de la formule « abonnement ». On retrouve bien graphiquement que la formule « abonnement » est plus intéressante à compter de 8 séances.