La bonne réponse est $2 \sqrt{3} - 3 \ \ ( \approx 0,46)$

Deux solutions ont été retenues.

• Celle proposée par Edav utilise le théorème de Pythagore mais nécessite de savoir résoudre une équation du second degré (niveau Première)

• Celle proposée par Olivier utilise la trigonométrie. Elle a l'avantage d'être accessible à un élève de troisième mais elle ne fournit qu'une valeur approchée (sauf si l'on sait que $\tan 15^{\circ}= 2 - \sqrt{3}$ - voir exercice Calcul de tan(15°) )

D'après le théorème de Pythagore dans le triangle $ADF$ rectangle en $D$ :
$AF^2 = AD^2 + DF^2$
donc
$DF^2 = AF^2 - AD^2$.

De même, dans le triangle $ABE$ rectangle en $B$ :
$AE^2 = AB^2 + BE^2$
donc
$BE^2 = AE^2 - AB^2$.

Comme $AE = AF$ (triangle équilatéral) et $AD = AB$ (carré), alors $DF^2 = BE^2$ donc $DF = BE$.

Notons $x$ cette distance : $x = DF = BE$.

Alors $FC = EC = 1 - x$ puisque l'aire du carré est $1\ m^2$ donc le côté mesure $1\ m.$

Dans le triangle $FCE$ rectangle en $C$ :
$EF^2 = EC^2 + CF^2 = 2(1 - x)^2$.
Comme le triangle $AFE$ est équilatéral $AF^2 = FE^2$, ce qui donne :
$1+x^2 = 2(1 - x)^2$
$1+x^2 = 2(1 - 2x+x^2)$
$1+x^2 = 2 - 4x+2x^2$
$0 = x^2 - 4x +1$

Le discriminant vaut :
$\Delta = 16 - 4 = 12$

Les solutions sont :

$x_1= \frac{ 4 - 2 \sqrt{ 3 } }{ 2 }= 2 - \sqrt{ 3 }$ et $x_1= \frac{ 4+2 \sqrt{ 3 } }{ 2 }= 2 + \sqrt{ 3 }$

Comme $x$ est inférieur à 1 on a donc $x = 2 - \sqrt{ 3 }$.

L'aire des triangles $ADF$ et $ABE$ est alors :
$\mathscr{A}_1 = \frac{ 1 \times x }{ 2 } = \frac{ 2 - \sqrt{ 3 }} { 2 }$

et l'aire du triangle $FEC$ :
$\mathscr{A}_2 = \frac{ (1 - x)^2 }{ 2 } = \frac{ ( \sqrt{ 3 } - 1)^2} { 2 }$ $= 2 - \sqrt{ 3 }$

L'aire du triangle $AFE$ est donc :

$\mathscr{A} = 1 - 2 \mathscr{A}_1 - \mathscr{A}_2$$=1 - (2 - \sqrt{ 3 } ) - (2 - \sqrt{ 3 } )$$=2 \sqrt{ 3 } - 3$$(\approx 0,46\ m^2)$.

Il est aisé de démontrer que les triangles ADF et ABE sont égaux ; et que l'angle EAB (=(90°-60°)/2) est de 15°

Dans le triangle ABE, tan A = EB/AB donc comme AB=1, EB=tan 15°=0,268 ; et l'aire = AB x EB/2 = 0,268/2 = 0,1339

Même chose dans le triangle ADF qui lui est égal

Donc l'aire des 2 triangles (ADF + ABE) est égale à 0,1339 x 2 =0,268m2

L'aire du triangle FCE =FC x CE/2 ; or FC=CE=1-EB=1-0,268 =0,7321 ; donc aire FCE = 0,7321 x 0,7321/2 = 0,268m2

L'aire de la partie non grisée (ADF + ABE + FCE) est donc égale à 0,268 +0,268 = 0,535m2

L'aire grisée (le triangle AFE) est donc égale à 1-0,535 = 0,465m2