Notons $n$ le nombre de manches disputées.

Tout d'abord on remarque qu'Adrien n'a pas pu perdre les trois dernières manches. En effet, si c'était le cas, son unique gain ne pourrait compenser les pertes de ces trois manches puisque les mises vont en augmentant.

• Supposons qu'Adrien a gagné la dernière manche (et donc perdu toutes les autres).

  Sur les $n - 1$ premières manches, il a perdu $1+2+3+\cdots+n - 1 =\frac{n(n - 1)}{2}$ euros (voir formule Somme des premiers entiers).

  Lors de la dernière manche il a gagné $3n$ euros.

  Les gains et les pertes se compensent si et seulement si $\frac{n(n - 1)}{2}=3n$ c'est à dire $n^2 - 7n=0$. Cette équation admet $7$ comme unique solution strictement positive.

  Vérifions que c'est l'unique possibilité.

• Supposons maintenant qu'Adrien a gagné l'avant-dernière manche.

  Sur les $n - 2$ premières manches, il a perdu $1+2+3+\cdots+n - 2 =\frac{(n - 1)(n - 2)}{2}$ euros.

  Lors de l'avant-dernière manche, il a gagné $3(n - 1)$ euros.

  Lors de la dernière manche il a perdu $n$ euros.

  Les gains et les pertes s'équilibrent si et seulement si $\frac{(n - 1)(n - 2)}{2}+n=3(n - 1)$ ce qui donne $n^2 - 7n+8=0$.

  Cette équation du second degré ne possède pas de solution entière (voir résolution).

   

• Un raisonnement similaire dans le cas où Adrien gagne l'antépénultième manche conduit à l'équation $\frac{(n - 2)(n - 3)}{2}+n+n - 1=3(n - 2)$ c'est à dire $n^2 - 7n+16=0$ qui ne possède aucune solution (voir résolution)

Alex a donc joué $7$ manches et gagné la dernière.
Il a d'abord perdu $1+2+3+4+5+6=21$ euros puis regagné $3 \times 7=21$ euros.