Seconde mi-temps
[Niveau: Terminale]
Au cours de la seconde mi-temps (45 minutes) d'un match de football, deux joueurs ont marqué chacun un but.
Quelle est la probabilité qu'il se soit écoulé moins de 10 minutes entre les deux buts ?
(On considéra que les buts sont indépendants et que les instants auxquels ils sont marqués suivent une loi uniforme).
Solution
La probabilité qu'il se soit écoulé moins de 10 minutes entre les deux buts est
Notons et les instants (en minutes) auxquels les buts ont été marqués et plaçons, dans un repère orthonormé, le point dont les coordonnées sont .
Comme les deux buts ont été marqués entre le début de la mi-temps et la 45ième minute, le point est situé à l'intérieur du carré représenté ci-dessous :
Pour qu'il s'écoule moins de 10 minutes entre les deux buts, il faut et il suffit que :
c'est à dire :
Traçons les droites d'équations et . Les deux buts sont distants de moins de 10 minutes si et seulement si le point appartient à l'hexagone coloré en jaune ci-dessous :
En raison de l'hypothèse d'uniformité, la probabilité cherchée est :
L'hexagone s'obtient en retranchant deux triangles rectangles isocèles au carré ; par conséquent :
On obtient alors :
La probabilité qu'il se soit écoulé moins de 10 minutes entre les deux buts est donc