Calcul de tan(15°)

Durée estimée

20 minutes

Difficulté

Sur la figure ci-dessous, $ ABCD $ est un rectangle de dimensions $ AB = 10 $cm et $ BC=5 $cm.

$ E $ est le point du segment $ [DC] $ tel que $ AE=10 $cm.

Reproduire la figure en vraie grandeur.
Donner la mesure en degrés de l'angle $ \widehat{DAE} $
En déduire la mesure des angles $ \widehat{EAB} $, $ \widehat{ABE} $ puis $ \widehat{EBC} $.
Calculer la mesure exacte de $ DE $.
En déduire la mesure exacte de $ EC $.
À l'aide des questions précédentes, montrer que $ \tan(15^{\circ})=2 - \sqrt{3} $

Corrigé

(Image de la figure non reproduite ici)
Dans le triangle $ DAE $ rectangle en $ D $ :

$ \cos(\widehat{DAE}) = \dfrac{AD}{AE} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2} $

On en déduit que $ \widehat{DAE} = 60^{\circ} $.
Comme $ \widehat{DAB} = 90^{\circ} = \widehat{DAE} + \widehat{EAB} $, on en déduit que :

$ \widehat{EAB} = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} $

De plus, comme $ AE = AB = 10 $ cm, le triangle $ EAB $ est isocèle en $ A $.
Il en résulte que :

$ \widehat{ABE} = \dfrac{1}{2} (180^{\circ} - \widehat{EAB}) = \dfrac{1}{2} (180^{\circ} - 30^{\circ}) = 75^{\circ} $

Enfin :

$ \widehat{EBC} = \widehat{ABC} - \widehat{ABE} = 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ} $
Dans le triangle $ ADE $ rectangle en $ D $, on applique le théorème de Pythagore :

$ DE^2 = AE^2 - AD^2 = 10^2 - 5^2 = 75 $

Donc $ DE = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} $.
Comme les points $ D $, $ E $ et $ C $ sont alignés dans cet ordre :

$ EC = DC - DE = 10 - 5\sqrt{3} = 5(2 - \sqrt{3}) $
Il reste à se placer dans le triangle $ EBC $ rectangle en $ C $ :

$ \tan(\widehat{EBC}) = \tan(15^{\circ}) = \dfrac{EC}{BC} = \dfrac{5(2 - \sqrt{3})}{5} = 2 - \sqrt{3} $