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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Vecteurs et coordonnées

Définitions

Un repère du plan est déterminé par un point quelconque O, appelé origine du repère, et deux vecteurs i\vec{i} et j\vec{j} non colinéaires.

Définitions

On dit que le repère (O;i,j)\left(O;\vec{i},\vec{j}\right) est :

  • orthogonal : si les vecteurs i\vec{i} et j\vec{j} sont orthogonaux

  • orthonormé ou orthonormal : si le repère est orthogonal et si les vecteurs i\vec{i} et j\vec{j} ont la même norme.

repère orthonormé

Repère orthonormé

Définitions

Soit (O;i,j)\left(O;\vec{i},\vec{j}\right) un repère du plan.

On dit que MM a pour coordonnées (x;y)\left(x ; y\right) si et seulement si :

OM=xi+yj\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}

On dit que u\vec{u} a pour coordonnées (xy)\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} si et seulement si :

u=xi+yj\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}

Par la suite, on considère que le plan P est muni d'un repère (O;i,j)\left(O;\vec{i},\vec{j}\right).

Propriété

Deux vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.

Propriété

Soient A(xA;yA)A\left(x_A;y_A\right) et B(xB;yB)B\left(x_B;y_B\right). Le vecteur AB\overrightarrow{AB} a pour coordonnées (xBxAyByA)\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}

Exemple

Soient A(1;1),B(4;2),C(5;0),D(2;1)A\left(1 ; 1\right), B\left(4 ; 2\right), C\left(5 ; 0\right), D\left(2 ; - 1\right)

Les coordonnées de AB\overrightarrow{AB} sont (4121)=(31)\begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}

Les coordonnées de DC\overrightarrow{DC} sont (520(1))=(31)\begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 0 - \left( - 1\right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}

AB=DC\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} donc ABCDABCD est un parallélogramme. ( voir Généralités sur les vecteurs )

Propriétés

Soient deux vecteurs u(xy)\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et v(xy)\vec{v} \begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix}.

  • Le vecteur u+v\vec{u}+\vec{v} a pour coordonnées (x+xy+y)\begin{pmatrix} x+x^{\prime} \\ y+y^{\prime} \end{pmatrix}

  • Le vecteur kuk\vec{u} a pour coordonnées (kxky)\begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}

Propriété

Colinéarité

Deux vecteurs non nuls u(xy)\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et v(xy)\vec{v} \begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} sont colinéaires si et seulement si:

xyyx=0xy^{\prime} - yx^{\prime}=0

Propriété

Milieu d'un segment

Si A(xA;yA)A\left(x_A;y_A\right) et B(xB;yB)B\left(x_B;y_B\right), le milieu MM de [AB]\left[AB\right] a pour coordonnées :

M(xA+xB2;yA+yB2)M \left(\frac{x_A+x_B}{2} ; \frac{y_A+y_B}{2}\right)

Propriété

Norme et distance

Soit un vecteur u(xy)\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. Alors :

u=x2+y2||\vec{u}||=\sqrt{x^2+y^2}

On en déduit si A(xA;yA)A\left(x_A;y_A\right) et B(xB;yB)B\left(x_B;y_B\right) :

AB=AB=(xBxA)2+(yByA)2AB=||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{\left(x_B - x_A\right)^2+\left(y_B - y_A\right)^2}

Exemple

Soient A(1;0),B(3;1),C(0;2)A\left(1 ; 0\right), B\left(3 ; 1\right), C\left(0 ; 2\right).

Que peut-on dire du triangle ABCABC ?

AB=22+12=5AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}

AC=(1)2+22=5AC=\sqrt{\left( - 1\right)^2+2^2}=\sqrt{5}

BC=(3)2+12=10BC=\sqrt{\left( - 3\right)^2+1^2}=\sqrt{10}

Donc AB=ACAB=AC

De plus :

AB2+AC2=5+5=10AB^2+AC^2=5+5=10

BC2=10BC^2=10

Le triangle ABCABC est donc rectangle en AA (réciproque du théorème de Pythagore) et isocèle.