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Théorème de Pythagore - Trigonométrie

1. Théorème de Pythagore (rappels de 4ème)

Théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit.

Remarque

  • On rappelle que l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit et le côté ayant la plus grande longueur.

  • Ce théorème sert à calculer la longueur d'un côté connaissant les longueurs des deux autres lorsque l'on sait que le triangle est rectangle

Exemple

Soit ABCABC un triangle rectangle en AA tel que AB=4AB=4cm et AC=3AC=3cm

sinus cosinus tangente

D'après le théorème de Pythagore :

BC2=AB2+AC2=42+32=16+9=25 BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9=25

Donc BC=25=5BC=\sqrt{25}=5cm.

Théorème (Réciproque du théorème de Pythagore)

Un triangle est rectangle si et seulement si le carré de la longueur du plus grand coté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Remarques

Ce théorème sert à démontrer qu'un triangle est un triangle rectangle lorsqu'on connait les longueurs de ses trois côtés.

Exemple

Soit ABCABC un triangle tel que AB=12AB=12cm, AC=5AC=5cm et BC=13BC=13cm.

ABCABC est-il rectangle ?

On calcule séparément BC2BC^{2} (carré de la longueur du plus grand coté) et AB2+AC2AB^{2}+AC^{2} (somme des carrés des longueurs des deux autres cotés) :

BC2=132=169BC^{2}=13^{2}=169

AB2+AC2=122+52=144+25=169AB^{2}+AC^{2}=12^{2}+5^{2}=144+25=169

BC2=AB2+AC2BC^{2} = AB^{2}+AC^{2} donc le triangle ABCABC est rectangle en AA d'après la réciproque du théorème de Pythagore.

2. Trigonométrie

Définitions

Soit ABCABC un triangle rectangle en AA :

  • le sinus de ABC^\widehat{ABC} est le nombre :

    sin(ABC^)=\sin\left(\widehat{ABC}\right)=longueur du côté opposé à Blongueur de l′hypoténuse\frac{\text{longueur\ du\ côté\ opposé\ à\ B}}{\text{longueur\ de\ l} ^{\prime} \text{hypoténuse}}

  • le cosinus de ABC^\widehat{ABC} est le nombre :

    cos(ABC^)=\cos\left(\widehat{ABC}\right)=longueur du côté adjacent à Blongueur de l′hypoténuse\frac{\text{longueur\ du\ côté\ adjacent\ à\ B}}{\text{longueur\ de\ l} ^{\prime} \text{hypoténuse}}

  • la tangente de ABC^\widehat{ABC} est le nombre :

    tan(ABC^)=\tan\left(\widehat{ABC}\right)=longueur du côté opposé à Blongueur du côté adjacent à B\frac{\text{longueur\ du\ côté\ opposé\ à\ B}}{\text{longueur\ du\ côté\ adjacent\ à\ B}}

Exemple

sinus cosinus tangente

Dans le triangle rectangle ABCABC ci-dessus :

  • sin(ABC^)=ACBC=35=0,6\sin\left(\widehat{ABC}\right)=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{5}=0,6

  • cos(ABC^)=ABBC=45=0,8\cos\left(\widehat{ABC}\right)=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{5}=0,8

  • tan(ABC^)=ACAB=34=0,75\tan\left(\widehat{ABC}\right)=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{4}=0,75

Remarques

  • Les sinus, cosinus et tangente n'ont pas d'unité !

  • Les sinus et cosinus d'un angle aigu sont compris entre 0 et 1. Par contre, la tangente peut être supérieure à 1.

  • Connaissant le sinus, il est possible de calculer la mesure de l'angle en degré à la calculatrice à l'aide de la touche sin−1\sin^{ - 1} (ou Arcsin ou asin suivant le modèle de la calculatrice). Vérifiez bien que la calculatrice est en mode degré !

Propriétés

Pour tout angle aigu a^\widehat{a} d'un triangle rectangle :

(cosa^)2+(sina^)2=1\left(\cos \widehat{a}\right)^{2}+\left(\sin \widehat{a}\right)^{2}=1

tana^=sina^cosa^\tan \widehat{a}=\frac{\sin \widehat{a}}{\cos \widehat{a}}

Remarque

Pour simplifier les notations, on écrit en général cos2a^\cos^{2} \widehat{a} pour (cosa^)2\left(\cos \widehat{a}\right)^{2}. La première formule s'écrit alors :

cos2a^+sin2a^=1\cos^{2} \widehat{a}+\sin^{2} \widehat{a}=1

Démonstrations

  • cosa^=ABBC\cos \widehat{a}=\frac{AB}{BC} donc (cosa^)2=AB2BC2\left(\cos \widehat{a}\right)^{2}=\frac{AB^{2}}{BC^{2}}

    sina^=ACBC\sin \widehat{a}=\frac{AC}{BC} donc (sina^)2=AC2BC2\left(\sin \widehat{a}\right)^{2}=\frac{AC^{2}}{BC^{2}}

    Par conséquent :

    (cosa^)2+(sina^)2=AB2BC2+AC2BC2=AB2+AC2BC2\left(\cos \widehat{a}\right)^{2}+\left(\sin \widehat{a}\right)^{2}=\frac{AB^{2}}{BC^{2}}+\frac{AC^{2}}{BC^{2}}=\frac{AB^{2}+AC^{2}}{BC^{2}}

    Or d'après le théorème de Pythagore AB2+AC2=BC2AB^{2}+AC^{2}=BC^{2} donc :

    (cosa^)2+(sina^)2=BC2BC2=1\left(\cos \widehat{a}\right)^{2}+\left(\sin \widehat{a}\right)^{2}=\frac{BC^{2}}{BC^{2}}=1 après simplification par BC2BC^{2}

  • sina^cosa^=ACBCABBC=ACBC×BCAB=ACAB\frac{\sin \widehat{a}}{\cos \widehat{a}}=\frac{\frac{AC}{BC}}{\frac{AB}{BC}}=\frac{AC}{BC}\times \frac{BC}{AB}=\frac{AC}{AB} après simplification par BCBC.

    Or, ACAB=tana^\frac{AC}{AB}=\tan \widehat{a}, par conséquent :

    tana^=sina^cosa^.\tan \widehat{a}=\frac{\sin \widehat{a}}{\cos \widehat{a}}.

Exemple

On sait que le cosinus d'un angle a^\widehat{a} vaut 0,50,5. Calculer une valeur approchée à 10−210^{ - 2} du sinus puis de la tangente de cet angle.

cos2a^+sin2a^=1\cos^{2} \widehat{a}+\sin^{2} \widehat{a}=1

sin2a^=1−cos2a^=1−0,52=0,75\sin^{2} \widehat{a}=1 - \cos^{2}\widehat{a}=1 - 0,5^{2}=0,75

sina^=0,75≈0,87\sin \widehat{a}=\sqrt{0,75}\approx 0,87 à 10−210^{ - 2} près

tana^=sina^cosa^=0,750,5≈1,73\tan \widehat{a}=\frac{\sin \widehat{a}}{\cos \widehat{a}}=\frac{\sqrt{0,75}}{0,5}\approx 1,73 à 10−210^{ - 2} près.

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