La fonction inverse et les fonctions homographiques
1. La fonction inverse
Définition
La fonction inverse est la fonction définie sur ]−∞;0[∪]0;+∞[ par : x↦x1.
Sa courbe représentative est une hyperbole.
L'hyperbole représentant la fonction x↦x1
Théorème
La courbe représentative de la fonction inverse est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Théorème
La fonction inverse est strictement décroissante sur ]−∞;0[ et sur ]0;+∞[.
Tableau de variation de la fonction "inverse"
Exemple d'application
On veut comparer les nombres π1 et 31.
On sait que π>3
Comme les nombres 3 et π sont strictement positifs et que la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0;+∞[ on en déduit que π1<31
2. Fonctions homographiques
Définition
Soient a,b,c,d quatre réels avec c≠0 et ad−bc≠0.
La fonction f définie sur R\{−cd} par :
f(x)=cx+dax+b
s'appelle une fonction homographique.
La courbe représentative d'une fonction homographique est une hyperbole.
Remarques
La valeur « interdite » −cd est celle qui annule le dénominateur.
Si ad−bc=0, la fraction se simplifie et dans ce cas la fonction f est constante sur son ensemble de définition. Par exemple f(x)=4x+22x+1=2×(2x+1)2x+1=21 sur R\{−21}
Exemple
La fonction f telle que :
f(x)=x+13x+2
est définie pour x+1≠0 c'est à dire x≠−1.
Son ensemble de définition est donc :
Df=R\{−1}( ou Df=]−∞;−1[∪]−1;+∞[)
Elle est strictement croissante sur chacun des intervalles ]−∞;−1[ et ]−1;+∞[ (pour cet exemple ; ce n'est pas le cas pour toutes les fonctions homographiques !).
Tableau de variations de f : x⟼x+13x+2
Courbe représentative de f : x⟼x+13x+2
