Fonctions linéaires et affines
1. Fonctions linéaires
Définition
Une fonction linéaire est une fonction définie sur par une formule du type : où .
s'appelle le coefficient de la fonction .
Remarque
La définition ci-dessus indique que si est une fonction linéaire, les valeurs de sont proportionnelles aux valeurs de , le coefficient de proportionnalité étant le coefficient de la fonction .
Propriété
La courbe représentative d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère.
Exemple
Représentation graphique de la fonction linéaire
Propriété
Soit une fonction linéaire.
Pour tous réels et :
Pour tous réels et :
2. Fonctions affines
Définition
Une fonction affine est une fonction définie sur par une formule du type : où et .
Remarque
Si , la fonction est linéaire. Les fonctions linéaires sont donc des cas particuliers des fonctions affines.
Propriété
La courbe représentative d'une fonction affine est une droite.
est le coefficient directeur de la droite et son ordonnée à l'origine.
Exemple
Représentation graphique de la fonction affine
Propriété
Soit une fonction affine de représentation graphique et soient et deux points de .
Le rapport ne dépend pas des points et choisis et est égal au coefficient directeur de la droite :
Coefficient directeur de :
Théorème
Une fonction affine est :
strictement croissante si est strictement positif.
strictement décroissante si est strictement négatif.
constante si est nul.
Démonstration
Démontrons, par exemple, que la fonction est strictement décroissante si .
Soient deux réels et tels que
Alors (on change le sens de l'inégalité car on multiplie par un réel négatif) donc
c'est à dire :
Le sens de l'inégalité est inversé donc est strictement décroissante sur .
Remarque
Ce théorème s'applique aussi aux fonctions linéaires puisque les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières.