Fonctions linéaires et affines
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1 - Fonctions linéaires
Définition
Une fonction linéaire est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par une formule du type : $x\mapsto ax$ où $a \in \mathbb{R}$.
$a$ s'appelle le coefficient de la fonction $f$.
Remarque
La définition ci-dessus indique que si $f$ est une fonction linéaire, les valeurs de $f\left(x\right)$ sont proportionnelles aux valeurs de $x$, le coefficient de proportionnalité étant le coefficient $a$ de la fonction $f$.
Propriété
La courbe représentative d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère.
Exemple
Représentation graphique de la fonction linéaire $x\mapsto \dfrac{3}{2}x$
Propriété
Soit $f$ une fonction linéaire.
Pour tous réels $x$ et $x^{\prime}$ : $f\left(x+x^{\prime}\right)=f\left(x\right)+f\left(x^{\prime}\right)$
Pour tous réels $k$ et $x$ : $f\left(kx\right)=kf\left(x\right)$
2 - Fonctions affines
Définition
Une fonction affine est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par une formule du type : $x\mapsto ax+b$ où $a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}$.
Remarque
Si $b = 0$, la fonction est linéaire. Si $a = 0$, la fonction est constante (elle vaut $b$ pour tout $x$).
Les fonctions linéaires et constantes sont donc des cas particuliers des fonctions affines.
Propriété
La courbe représentative d'une fonction affine est une droite.
$a$ est le coefficient directeur de la droite et $b$ son ordonnée à l'origine.
Exemple
Représentation graphique de la fonction affine $x\mapsto \dfrac{1}{2}x+2$
Propriété
Soit $f$ une fonction affine de représentation graphique $\mathscr D$ et soient $A$ et $B$ deux points de $\mathscr D$.
Le rapport $\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ne dépend pas des points $A$ et $B$ choisis et est égal au coefficient directeur de la droite $\mathscr D$ :
Exemple
Coefficient directeur de $\mathscr{D}$ : $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}=\dfrac{1{,}5}{3}=0{,}5$
3 - Taux d'accroissement
Propriété
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
$f$ est une fonction affine si et seulement si, pour tous réels distincts $a$ et $b$, le rapport $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ est constant.
Ce rapport constant est appelé taux d'accroissement de la fonction $f$. Il est égal au coefficient directeur.
Exemple
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 3x - 2$.
Vérifions que le taux d'accroissement est constant :
$\dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = \dfrac{13 - 1}{4} = \dfrac{12}{4} = 3$
$\dfrac{f(0) - f(2)}{0 - 2} = \dfrac{-2 - 4}{-2} = \dfrac{-6}{-2} = 3$
Le taux d'accroissement vaut $3$, qui est bien le coefficient directeur de $f$.
4 - Sens de variation
Théorème
Une fonction affine $x \mapsto ax+b$ est :
- strictement croissante si $a$ est strictement positif.
- strictement décroissante si $a$ est strictement négatif.
- constante si $a$ est nul.
Démonstration
Démontrons, par exemple, que la fonction $f : x\mapsto ax+b$ est strictement décroissante si $a < 0$.
Soient deux réels $x_1$ et $x_2$ tels que $x_1 < x_2$.
Alors $ax_1 > ax_2$ (on change le sens de l'inégalité car on multiplie par un réel négatif), donc :
$ax_1+b > ax_2+b$, c'est-à-dire $f\left(x_1\right) > f\left(x_2\right)$.
Le sens de l'inégalité est inversé donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
Remarque
Ce théorème s'applique aussi aux fonctions linéaires puisque les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières.
5 - Signe d'une fonction affine
Propriété
Soit $f$ une fonction affine définie par $f(x) = ax + b$ avec $a \neq 0$.
$f$ s'annule pour $x = -\dfrac{b}{a}$.
Si $a > 0$ : $f(x) < 0$ pour $x < -\dfrac{b}{a}$ et $f(x) > 0$ pour $x > -\dfrac{b}{a}$.
Si $a < 0$ : $f(x) > 0$ pour $x < -\dfrac{b}{a}$ et $f(x) < 0$ pour $x > -\dfrac{b}{a}$.
Exemple
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 2x - 6$.
$f$ s'annule pour $x = \dfrac{6}{2} = 3$.
Comme $a = 2 > 0$, la fonction $f$ est strictement croissante, donc :
$f(x) < 0$ pour $x < 3$ et $f(x) > 0$ pour $x > 3$.
Remarque
Les fonctions affines particulières possèdent des propriétés de parité :
- Une fonction linéaire ($b = 0$) est une fonction impaire : pour tout réel $x$, $f(-x) = -f(x)$.
- Une fonction constante ($a = 0$) est une fonction paire : pour tout réel $x$, $f(-x) = f(x)$.
Les questions essentielles
1. Comment déterminer l'expression d'une fonction affine ?
À partir de deux points, on calcule le coefficient directeur avec la formule $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, puis l'ordonnée à l'origine avec $b = y_A - a \times x_A$.
Voir la fiche méthode : Déterminer l'expression d'une fonction affine
2. Comment tracer la droite d'une fonction affine ?
On place le point d'ordonnée à l'origine sur l'axe des ordonnées, puis on utilise le coefficient directeur pour trouver un deuxième point et on trace la droite.
Voir la fiche méthode : Tracer la droite représentative d'une fonction affine
3. Comment calculer un coefficient directeur ?
On repère deux points de la droite et on applique la formule du taux d'accroissement : $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. Graphiquement, on mesure le déplacement vertical par rapport au déplacement horizontal.
Voir la fiche méthode : Calculer un coefficient directeur
4. Comment déterminer le sens de variation d'une fonction affine ?
Il suffit de regarder le signe du coefficient directeur $a$ : si $a > 0$, la fonction est croissante ; si $a < 0$, elle est décroissante.
Voir la fiche méthode : Déterminer le sens de variation d'une fonction affine
5. Comment dresser le tableau de signes d'une fonction affine ?
On calcule la racine $x_0 = -\dfrac{b}{a}$, puis on utilise le signe de $a$ pour remplir le tableau : le signe de $f(x)$ est contraire à celui de $a$ avant $x_0$ et identique après.
Voir la fiche méthode : Résoudre f(x) = 0 et dresser le tableau de signes