1 – Généralités
Définition
Une fonction f est un procédé qui à tout nombre réel x associe un seul nombre réel y.
x s’appelle la variable.
y s’appelle l’image de x par la fonction f et se note f\left(x\right)
f est la fonction et se note: f : x\mapsto y.
On note aussi y=f\left(x\right).
Remarque
Les procédés permettant d’associer un nombre à un autre nombre peuvent être :
Des formules mathématiques (par exemple : f\left(x\right)=2x+5)
Une courbe (par exemple : la courbe donnant le cours d’une action en Bourse en fonction du temps)
Un instrument de mesure ou de conversion (par exemple : le compteur d’un taxi qui donne le prix à payer en fonction du trajet parcouru)
Un tableau de valeurs, chaque élément de la seconde ligne étant associé à un élément de la première ligne
Une touche de calculatrice (par exemple: sin, cos, ln, log, etc.) qui affiche un résultat dépendant du nombre saisi auparavant
Etc…
Méthode
Pour calculer l’image d’un nombre par une fonction f, on remplace x par ce nombre dans la formule donnant f\left(x\right).
Attention !
N’oubliez pas les parenthèses quand vous remplacez x par un nombre négatif ou par une expression composée (comme 1+\sqrt{2} par exemple).
Exemple
Soit f\left(x\right)=x^{2}+1
L’image de -1 par f s’obtient en remplaçant x par \left(-1\right) dans la formule ci-dessus :
f\left(-1\right) =\left(-1\right)^{2}+1=1+1=2.
Définition
Soit y un nombre réel. Déterminer les antécédents de y par f, c’est trouver les valeurs de x telles que f\left(x\right)=y.
Remarque
Un nombre peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédent(s).
Méthode
Soit \alpha un nombre réel.
Pour trouver les antécédents de \alpha par la fonction f, on résout l’équation f\left(x\right)=\alpha d’inconnue x.
Exemple
Soit la fonction f définie par f\left(x\right)=2x-3.
Pour trouver le(s) antécédent(s) du nombre 1 on résout l’équation f\left(x\right)=1 c’est à dire :
2x-3=1
2x=4
x=2
Donc 1 a un seul antécédent qui est le nombre2.
2 – Représentation graphique
Définitions
Un repère du plan est un triplet de points non alignés \left(O,I,J\right).
Le point O est appelé l’origine du repère, la droite \left(OI\right), l’axe des abscisses et la droite \left(OJ\right), l’axe des ordonnées.
Un repère est orthonormé (ou orthonormal) si les points O, I, J forment un triangle rectangle isocèle en O.
Remarque
On note généralement \left(Ox\right) l’axe des abscisses et \left(Oy\right) l’axe des ordonnées.
Rappel vocabulaire
Le plan est muni d’un repère \left(O ; I, J\right). On désigne par M un point du plan.
M a pour coordonnées \left(x; y\right), le nombre x est l’abscisse du point M et le nombre y est son ordonnée.
Exemple
Les coordonnées du point O sont (0~;~0).
Les coordonnées du point I sont (1~;~0).
Les coordonnées du point J sont (0~;~1).
Les coordonnées du point M sont (3~;~2).
Définition
La courbe représentative de la fonction f dans un repère \left(O; I, J\right) est l’ensemble des points M de coordonnées \left(x ; f\left(x\right)\right)
Remarque
La définition précédente donne un critère permettant de déterminer si un point A\left(\alpha ; \beta \right) appartient à la courbe représentative d’une fonction f : on calcule f\left(\alpha \right) et on regarde si f\left(\alpha \right)=\beta
Exemple
f\left(x\right)=1+x^{2}. Les points A\left(1 ; 3\right) et B\left(2 ; 5\right) appartiennent-ils à la courbe représentative \mathscr C_{f} de la fonction f ?
Pour A : f\left(1\right)=1+1^{2}=2 n’est pas l’ordonnée de A. Donc A n’est pas situé sur la courbe \mathscr C_{f} .
Pour B : f\left(2\right)=1+2^{2}=1+4=5 est l’ordonnée de B. Donc B est situé sur la courbe \mathscr C_{f} .
Méthode
Une méthode simple mais approximative pour tracer la courbe représentative d’une fonction f consiste :
à calculer f\left(x\right) pour plusieurs valeurs de x ;
puis à placer les points de coordonnées \left(x ; f\left(x\right)\right) correspondant aux valeurs obtenues ;
et enfin à relier ces différents points.
Exemple
Pour tracer la courbe représentative de la fonction f~ : ~ x \mapsto x^{2}-1 on calcule quelques images :
| x | -1 | 0 | 1 | 2 |
| f\left(x\right) | 0 | -1 | 0 | 3 |
On place les points correspondants puis on les relie pour obtenir la courbe :
