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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Notion de fonction

1 - Généralités

Définition

Une fonction ff est un procédé qui à tout nombre réel xx associe un seul nombre réel yy.

  • xx s'appelle la variable.

  • yy s'appelle l'image de xx par la fonction ff et se note f(x)f\left(x\right)

  • ff est la fonction et se note: f:xyf : x\mapsto y.

  • On note aussi y=f(x)y=f\left(x\right).

Remarque

Les procédés permettant d'associer un nombre à un autre nombre peuvent être :

  • Des formules mathématiques (par exemple : f(x)=2x+5f\left(x\right)=2x+5)

  • Une courbe (par exemple : la courbe donnant le cours d'une action en Bourse en fonction du temps)

  • Un instrument de mesure ou de conversion (par exemple : le compteur d'un taxi qui donne le prix à payer en fonction du trajet parcouru)

  • Un tableau de valeurs, chaque élément de la seconde ligne étant associé à un élément de la première ligne

  • Une touche de calculatrice (par exemple: sin, cos, ln, log, etc.) qui affiche un résultat dépendant du nombre saisi auparavant

  • Etc...

Méthode

Pour calculer l'image d'un nombre par une fonction ff, on remplace xx par ce nombre dans la formule donnant f(x)f\left(x\right).

Attention !

N'oubliez pas les parenthèses quand vous remplacez xx par un nombre négatif ou par une expression composée (comme 1+21+\sqrt{2} par exemple).

Exemple

Soit f(x)=x2+1f\left(x\right)=x^{2}+1

L'image de 1 - 1 par ff s'obtient en remplaçant xx par (1)\left( - 1\right) dans la formule ci-dessus :

f(1)=(1)2+1=1+1=2f\left( - 1\right) =\left( - 1\right)^{2}+1=1+1=2.

Définition

Soit yy un nombre réel. Déterminer les antécédents de yy par ff, c'est trouver les valeurs de xx telles que f(x)=yf\left(x\right)=y.

Remarque

Un nombre peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédent(s).

Méthode

Soit α\alpha un nombre réel.

Pour trouver les antécédents de α\alpha par la fonction ff, on résout l'équation f(x)=αf\left(x\right)=\alpha d'inconnue xx.

Exemple

Soit la fonction ff définie par f(x)=2x3f\left(x\right)=2x - 3.

Pour trouver le(s) antécédent(s) du nombre 11 on résout l'équation f(x)=1f\left(x\right)=1 c'est à dire :

2x3=12x - 3=1

2x=42x=4

x=2x=2

Donc 11 a un seul antécédent qui est le nombre22.

2 - Représentation graphique

Définitions

Un repère du plan est un triplet de points non alignés (O,I,J)\left(O,I,J\right).

Le point OO est appelé l'origine du repère, la droite (OI)\left(OI\right), l'axe des abscisses et la droite (OJ)\left(OJ\right), l'axe des ordonnées.

Un repère est orthonormé (ou orthonormal) si les points O,I,JO, I, J forment un triangle rectangle isocèle en OO.

Remarque

On note généralement (Ox)\left(Ox\right) l'axe des abscisses et (Oy)\left(Oy\right) l'axe des ordonnées.

Rappel vocabulaire

Le plan est muni d'un repère (O;I,J)\left(O ; I, J\right). On désigne par MM un point du plan.

MM a pour coordonnées (x;y)\left(x; y\right), le nombre xx est l'abscisse du point MM et le nombre yy est son ordonnée.

repère orthonormé

Exemple

  • Les coordonnées du point OO sont (0 ; 0)(0~;~0).

  • Les coordonnées du point II sont (1 ; 0)(1~;~0).

  • Les coordonnées du point JJ sont (0 ; 1)(0~;~1).

  • Les coordonnées du point MM sont (3 ; 2)(3~;~2).

Définition

La courbe représentative de la fonction ff dans un repère (O;I,J)\left(O; I, J\right) est l'ensemble des points MM de coordonnées (x;f(x))\left(x ; f\left(x\right)\right)

Remarque

La définition précédente donne un critère permettant de déterminer si un point A(α;β)A\left(\alpha ; \beta \right) appartient à la courbe représentative d'une fonction ff : on calcule f(α)f\left(\alpha \right) et on regarde si f(α)=βf\left(\alpha \right)=\beta

Exemple

f(x)=1+x2f\left(x\right)=1+x^{2}. Les points A(1;3)A\left(1 ; 3\right) et B(2;5)B\left(2 ; 5\right) appartiennent-ils à la courbe représentative Cf\mathscr C_{f} de la fonction ff ?

Pour AA : f(1)=1+12=2f\left(1\right)=1+1^{2}=2 n'est pas l'ordonnée de AA. Donc AA n'est pas situé sur la courbe Cf\mathscr C_{f} .

Pour BB : f(2)=1+22=1+4=5f\left(2\right)=1+2^{2}=1+4=5 est l'ordonnée de BB. Donc BB est situé sur la courbe Cf\mathscr C_{f} .

Méthode

Une méthode simple mais approximative pour tracer la courbe représentative d'une fonction ff consiste :

  • à calculer f(x)f\left(x\right) pour plusieurs valeurs de xx ;

  • puis à placer les points de coordonnées (x;f(x))\left(x ; f\left(x\right)\right) correspondant aux valeurs obtenues ;

  • et enfin à relier ces différents points.

Exemple

Pour tracer la courbe représentative de la fonction f : xx21f~ : ~ x \mapsto x^{2} - 1 on calcule quelques images :

xx -1 0 1 2
f(x)f\left(x\right) 0 -1 0 3

On place les points correspondants puis on les relie pour obtenir la courbe :

repère orthonormé