Notion de fonction
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Créer un compteObjectifs du chapitre
1 - Généralités
Définition
Une fonction $ f $ est un procédé qui à tout nombre réel $ x $ associe un seul nombre réel $ y $.
- $ x $ s'appelle la variable.
- $ y $ s'appelle l'image de $ x $ par la fonction $ f $ et se note $ f\left(x\right) $
- $ f $ est la fonction et se note : $ f : x\mapsto y $.
- On note aussi $ y=f\left(x\right) $.
Remarque
Les procédés permettant d'associer un nombre à un autre nombre peuvent être :
- Des formules mathématiques (par exemple : $ f\left(x\right)=2x+5 $)
- Une courbe (par exemple : la courbe donnant le cours d'une action en Bourse en fonction du temps)
- Un instrument de mesure ou de conversion (par exemple : le compteur d'un taxi qui donne le prix à payer en fonction du trajet parcouru)
- Un tableau de valeurs, chaque élément de la seconde ligne étant associé à un élément de la première ligne
- Une touche de calculatrice (par exemple : sin, cos, ln, log, etc.) qui affiche un résultat dépendant du nombre saisi auparavant
- Etc...
Méthode
Pour calculer l'image d'un nombre par une fonction $ f $, on remplace $ x $ par ce nombre dans la formule donnant $ f\left(x\right) $.
Attention
Ne pas oublier les parenthèses quand on remplace $ x $ par un nombre négatif ou par une expression composée (comme $ 1+\sqrt{2} $ par exemple).
Exemple
Soit $ f\left(x\right)=x^{2}+1 $
L'image de $ - 1 $ par $ f $ s'obtient en remplaçant $ x $ par $ \left( - 1\right) $ dans la formule ci-dessus :
$ f\left( - 1\right) =\left( - 1\right)^{2}+1=1+1=2 $.
Définition
Soit $ y $ un nombre réel. Déterminer les antécédents de $ y $ par $ f $, c'est trouver les valeurs de $ x $ telles que $ f\left(x\right)=y $.
Remarque
Un nombre peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédent(s).
Méthode
Soit $ \alpha $ un nombre réel.
Pour trouver les antécédents de $ \alpha $ par la fonction $ f $, on résout l'équation $ f\left(x\right)=\alpha $ d'inconnue $ x $.
Exemple
Soit la fonction $ f $ définie par $ f\left(x\right)=2x - 3 $.
Pour trouver le(s) antécédent(s) du nombre $ 1 $ on résout l'équation $ f\left(x\right)=1 $ c'est à dire :
$ 2x - 3=1 $
$ 2x=4 $
$ x=2 $
Donc $ 1 $ a un seul antécédent qui est le nombre $ 2 $.
2 - Représentation graphique
Définition
Un repère du plan est un triplet de points non alignés $ \left(O,I,J\right) $.
Le point $ O $ est appelé l'origine du repère, la droite $ \left(OI\right) $, l'axe des abscisses et la droite $ \left(OJ\right) $, l'axe des ordonnées.
Un repère est orthonormé (ou orthonormal) si les points $ O, I, J $ forment un triangle rectangle isocèle en $ O $.
Remarque
On note généralement $ \left(Ox\right) $ l'axe des abscisses et $ \left(Oy\right) $ l'axe des ordonnées.
Rappel vocabulaire
Le plan est muni d'un repère $ \left(O ; I, J\right) $. On désigne par $ M $ un point du plan.
$ M $ a pour coordonnées $ \left(x; y\right) $, le nombre $ x $ est l'abscisse du point $ M $ et le nombre $ y $ est son ordonnée.
Exemple
- Les coordonnées du point $ O $ sont $ (0~;~0) $.
- Les coordonnées du point $ I $ sont $ (1~;~0) $.
- Les coordonnées du point $ J $ sont $ (0~;~1) $.
- Les coordonnées du point $ M $ sont $ (3~;~2) $.
Définition
La courbe représentative de la fonction $ f $ dans un repère $ \left(O; I, J\right) $ est l'ensemble des points $ M $ de coordonnées $ \left(x ; f\left(x\right)\right) $
Remarque
La définition précédente donne un critère permettant de déterminer si un point $ A\left(\alpha ; \beta \right) $ appartient à la courbe représentative d'une fonction $ f $ : on calcule $ f\left(\alpha \right) $ et on regarde si $ f\left(\alpha \right)=\beta $
Exemple
$ f\left(x\right)=1+x^{2} $. Les points $ A\left(1 ; 3\right) $ et $ B\left(2 ; 5\right) $ appartiennent-ils à la courbe représentative $ \mathscr C_{f} $ de la fonction $ f $ ?
Pour $ A $ : $ f\left(1\right)=1+1^{2}=2 $ n'est pas l'ordonnée de $ A $. Donc $ A $ n'est pas situé sur la courbe $ \mathscr C_{f} $.
Pour $ B $ : $ f\left(2\right)=1+2^{2}=1+4=5 $ est l'ordonnée de $ B $. Donc $ B $ est situé sur la courbe $ \mathscr C_{f} $.
Méthode
Une méthode simple mais approximative pour tracer la courbe représentative d'une fonction $ f $ consiste :
- à calculer $ f\left(x\right) $ pour plusieurs valeurs de $ x $ ;
- puis à placer les points de coordonnées $ \left(x ; f\left(x\right)\right) $ correspondant aux valeurs obtenues ;
- et enfin à relier ces différents points.
Exemple
Pour tracer la courbe représentative de la fonction $ f~ : ~ x \mapsto x^{2} - 1 $ on calcule quelques images :
| $ x $ | -1 | 0 | 1 | 2 |
| $ f\left(x\right) $ | 0 | -1 | 0 | 3 |
On place les points correspondants puis on les relie pour obtenir la courbe :
Les questions essentielles
1. Comment calculer l'image d'un nombre par une fonction ?
Pour calculer l'image d'un nombre, on remplace $ x $ par ce nombre dans la formule de la fonction, puis on effectue les calculs en respectant les priorités opératoires. Attention à bien mettre des parenthèses autour des nombres négatifs.
Voir la fiche méthode : Calculer l'image d'un nombre par une fonction
2. Comment déterminer un antécédent par le calcul ?
Pour trouver les antécédents d'un nombre $ k $ par une fonction $ f $, on résout l'équation $ f\left(x\right) = k $. Un nombre peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédents.
Voir la fiche méthode : Déterminer un antécédent par le calcul
3. Comment lire une image ou un antécédent sur un graphique ?
Pour lire une image, on part de l'axe des abscisses, on va verticalement jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée. Pour lire un antécédent, on part de l'axe des ordonnées, on va horizontalement jusqu'à la courbe, puis on lit l'abscisse.
Voir la fiche méthode : Lire une image et un antécédent sur un graphique
4. Comment dresser un tableau de valeurs et vérifier si un point appartient à une courbe ?
On choisit plusieurs valeurs de $ x $, on calcule chaque image et on reporte les résultats dans un tableau. Pour vérifier si un point $ \left(\alpha~;~\beta\right) $ appartient à la courbe, on calcule $ f\left(\alpha\right) $ et on vérifie si le résultat est égal à $ \beta $.
Voir la fiche méthode : Dresser un tableau de valeurs et vérifier si un point appartient à une courbe