Notion de fonction
1 - Généralités
Définition
Une fonction est un procédé qui à tout nombre réel associe un seul nombre réel .
s'appelle la variable.
s'appelle l'image de par la fonction et se note
est la fonction et se note: .
On note aussi .
Remarque
Les procédés permettant d'associer un nombre à un autre nombre peuvent être :
Des formules mathématiques (par exemple : )
Une courbe (par exemple : la courbe donnant le cours d'une action en Bourse en fonction du temps)
Un instrument de mesure ou de conversion (par exemple : le compteur d'un taxi qui donne le prix à payer en fonction du trajet parcouru)
Un tableau de valeurs, chaque élément de la seconde ligne étant associé à un élément de la première ligne
Une touche de calculatrice (par exemple: sin, cos, ln, log, etc.) qui affiche un résultat dépendant du nombre saisi auparavant
Etc...
Méthode
Pour calculer l'image d'un nombre par une fonction , on remplace par ce nombre dans la formule donnant .
Attention !
N'oubliez pas les parenthèses quand vous remplacez par un nombre négatif ou par une expression composée (comme par exemple).
Exemple
Soit
L'image de par s'obtient en remplaçant par dans la formule ci-dessus :
.
Définition
Soit un nombre réel. Déterminer les antécédents de par , c'est trouver les valeurs de telles que .
Remarque
Un nombre peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédent(s).
Méthode
Soit un nombre réel.
Pour trouver les antécédents de par la fonction , on résout l'équation d'inconnue .
Exemple
Soit la fonction définie par .
Pour trouver le(s) antécédent(s) du nombre on résout l'équation c'est à dire :
Donc a un seul antécédent qui est le nombre.
2 - Représentation graphique
Définitions
Un repère du plan est un triplet de points non alignés .
Le point est appelé l'origine du repère, la droite , l'axe des abscisses et la droite , l'axe des ordonnées.
Un repère est orthonormé (ou orthonormal) si les points forment un triangle rectangle isocèle en .
Remarque
On note généralement l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
Rappel vocabulaire
Le plan est muni d'un repère . On désigne par un point du plan.
a pour coordonnées , le nombre est l'abscisse du point et le nombre est son ordonnée.
Exemple
Les coordonnées du point sont .
Les coordonnées du point sont .
Les coordonnées du point sont .
Les coordonnées du point sont .
Définition
La courbe représentative de la fonction dans un repère est l'ensemble des points de coordonnées
Remarque
La définition précédente donne un critère permettant de déterminer si un point appartient à la courbe représentative d'une fonction : on calcule et on regarde si
Exemple
. Les points et appartiennent-ils à la courbe représentative de la fonction ?
Pour : n'est pas l'ordonnée de . Donc n'est pas situé sur la courbe .
Pour : est l'ordonnée de . Donc est situé sur la courbe .
Méthode
Une méthode simple mais approximative pour tracer la courbe représentative d'une fonction consiste :
à calculer pour plusieurs valeurs de ;
puis à placer les points de coordonnées correspondant aux valeurs obtenues ;
et enfin à relier ces différents points.
Exemple
Pour tracer la courbe représentative de la fonction on calcule quelques images :
| -1 | 0 | 1 | 2 | |
| 0 | -1 | 0 | 3 |
On place les points correspondants puis on les relie pour obtenir la courbe :
