Probabilités conditionnelles - Indépendance

1.Rappels

Rappels de définitions

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.
Chacun des résultats possibles s'appelle une éventualité (ou une issue).
L'ensemble $\Omega$ de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire s'appelle l'univers de l'expérience.
On définit une loi de probabilité sur $\Omega$ en associant, à chaque éventualité $x_{i}$ , un réel $p_{i}$ compris entre $0$ et $1$ tel que la somme de tous les $p_{i}$ soit égale à $1$ .
Un événement est un sous-ensemble de $\Omega$ .

Exemples

Le lancer d'un dé à six faces est une expérience aléatoire d'univers comportant 6 éventualités: $\Omega =\left\{1; 2; 3; 4; 5; 6\right\}$

L'ensemble $E_{1}=\left\{2; 4; 6\right\}$ est un événement. En français, cet événement peut se traduire par la phrase : « le résultat du dé est un nombre pair »
L'ensemble $E_{2}=\left\{1; 2; 3\right\}$ est un autre événement. Ce second événement peut se traduire par la phrase : « le résultat du dé est strictement inférieur à 4 ».

Ces événements peuvent être représentés par un diagramme de Venn : \img{Venn}{0.33}{Diagramme de Venn}

Définitions

l'événement contraire de $A$ noté $\bar{A}$ est l'ensemble des éventualités de $\Omega$ qui n'appartiennent pas à $A$ .
l'événement $A \cup B$ (lire « A union B » ou « A ou B » est constitué des éventualités qui appartiennent soit à A, soit à B, soit aux deux ensembles.
l'événement $A \cap B$ (lire « A inter B » ou « A et B » est constitué des éventualités qui appartiennent à la fois à A et à B.

Exemple

On reprend l'exemple précédent : $E_{1}=\left\{2; 4; 6\right\}$ $E_{2}=\left\{1; 2; 3\right\}$

$\overline{E}_{1}=\left\{1; 3; 5\right\}$ : cet événement peut se traduire par « le résultat est un nombre impair » \img{Venn-complementaire}{0.3}{Diagramme de Venn - Complémentaire}
$E_{1} \cup E_{2}=\left\{1; 2; 3; 4; 6\right\}$ : cet événement peut se traduire par « le résultat est pair ou strictement inférieur à 4 ». \img{Venn-union}{0.3}{Diagramme de Venn - Union}
$E_{1} \cap E_{2}=\left\{2\right\}$ : cet événement peut se traduire par « le résultat est pair et strictement inférieur à 4 ». \img{Venn-inter}{0.3}{Diagramme de Venn - Intersection}

Définition

On dit que A et B sont incompatibles si et seulement si $A \cap B=\varnothing$

Remarque

Deux événements contraires sont incompatibles mais deux événements peuvent être incompatibles sans être contraires.

Exemple

« Obtenir un chiffre inférieur à 2 » et « obtenir un chiffre supérieur à 4 » sont deux événements incompatibles.

Propriétés

$p\left(\varnothing\right)=0$
$p\left(\Omega \right)=1$
$p\left(\overline{A}\right)=1 - p\left(A\right)$
$p\left(A \cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right) - p\left(A \cap B\right)$ .

Si A et B sont incompatibles, la dernière égalité devient :

$p\left(A \cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right)$ .

2. Arbre

Lorsqu'une expérience aléatoire comporte plusieurs étapes, on utilise souvent un arbre pondéré pour la représenter.

Exemple

Dans une classe de Terminale, 52% de garçons et 48% de filles étaient candidats au baccalauréat.

80% des garçons et 85% des filles ont obtenu leur diplôme.

On choisit un élève au hasard et on note :

$G$ : l'événement « l'élève choisi est un garçon »;
$F$ : l'événement « l'élève choisie est une fille »;
$B$ : l'événement « l'élève choisi(e) a obtenu son baccalauréat ».

On peut représenter la situation à l'aide de l'arbre pondéré ci-dessous :

$arbre pondéré$

Le premier niveau indique le genre de l'élève (

G

F

) et le second indique l'obtention du diplôme (

B

\overline{B}

On inscrit les probabilités sur chacune des branches.

La somme des probabilités inscrites sur les branches partant d’un même nœud est toujours égale à 1.

3. Probabilités conditionnelles

Définition

Soit A et B deux événements tels que $p\left(A\right)\neq 0$ , la probabilité de B sachant A est le nombre :

$p_{A}\left(B\right)=\frac{p\left(A \cap B\right)}{p\left(A\right)}.$

On peut aussi noter cette probabilité $p\left(B/A\right)$ .

Exemple

On reprend l'exemple du lancer d'un dé. La probabilité d'obtenir un chiffre pair sachant que le chiffre obtenu est strictement inférieur à 4 est (en cas d'équiprobabilité) :

$p_{E_{2}}\left(E_{1}\right)=\frac{p\left(E_{1} \cap E_{2}\right)}{p\left(E_{2}\right)}=\frac{1}{3}.$

Remarques

L'égalité précédente s'emploie souvent sous la forme :
$p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right)$
pour calculer la probabilité de $A \cap B$ .
Attention à ne pas confondre $p_{A}\left(B\right)$ et $p\left(A \cap B\right)$ dans les exercices.
On doit calculer $p_{A}\left(B\right)$ lorsque l'on sait que $A$ est réalisé.
Avec un arbre pondéré, les probabilités conditionnelles figurent sur les branches du second niveau et des niveaux supérieurs (s'il y en a).
La probabilité inscrite sur la branche reliant $A$ à $B$ est $p_A(B)$ .
Typiquement, un arbre binaire à deux niveaux se présentera ainsi :
$arbre pondéré$
La formule $p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right)$ s'interprète alors de la façon suivante :
« La probabilité de l'événement $A \cap B$ s'obtient en faisant le produit des probabilités inscrites sur le chemin passant par $A$ et $B$ ».
$arbre pondéré$

4. Événements indépendants

Définition

Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si :

$p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p\left(B\right).$

Propriété

$A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :

$p_{A}\left(B\right)=p\left(B\right).$

Démonstration

Elle résulte directement du fait que pour deux événements quelconques :

$p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right).$

Remarque

Comme $A \cap B=B \cap A$ , $A$ et $B$ sont interchangeables dans cette formule et on a également :

$A$ et $B$ sont indépendants $\Leftrightarrow$ $p_{B}\left(A\right)=p\left(A\right)$ .

5. Formule des probabilités totales

Définition

$A_{1}$ , $A_{2}$ , ... , $A_{n}$ forment une partition de $\Omega$ si et seulement si $A_{1} \cup A_{2} . . . \cup A_{n}=\Omega$ et $A_{i} \cap A_{j}=\varnothing$ pour $i\neq j$ .

Cas particulier fréquent

Pour toute partie $A\subset\Omega$ , $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de $\Omega$ .

Propriété (Formule des probabilités totales)

Si $A_{1}$ , $A_{2}$ ,... $A_{n}$ forment une partition de $\Omega$ , pour tout événement $B$ , on a :

$p\left(B\right)=p\left(A_{1} \cap B\right)+p\left(A_{2} \cap B\right)+ \cdots$ $+p\left(A_{n} \cap B\right).$

Cette formule peut également s'écrire à l'aide de probabilités conditionnelles :

$p\left(B\right)=p\left(A_{1} \right)\times p_{A_{1} }\left(B\right)$ $+p\left(A_{2} \right)\times p_{A_{2}}\left(B\right)+\cdots$ $+p\left(A_{n}\right)\times p_{A_{n}}\left(B\right)$ .

Cas particulier fréquent

En utilisant la partition $\left\{A, \overline{A}\right\}$ , quels que soient les événements $A$ et $B$ :

$p\left(B\right)=p\left(A \cap B\right)+p\left(\overline{A} \cap B\right)$
$p\left(B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right)+p\left(\overline{A}\right)\times p_{\overline{A}}\left(B\right)$ .

Remarque

À l'aide d'un arbre pondéré, ce résultat s'interprète de la façon suivante :
« La probabilité de l'événement $B$ est égale à la somme des probabilités des trajets menant à $B$ ».

$arbre pondéré$

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Cas particulier fréquent

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