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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Probabilités conditionnelles - Indépendance

1.Rappels

Rappels de définitions

  • Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.

  • Chacun des résultats possibles s'appelle une éventualité (ou une issue).

  • L'ensemble Ω\Omega de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire s'appelle l'univers de l'expérience.

  • On définit une loi de probabilité sur Ω\Omega en associant, à chaque éventualité xix_{i}, un réel pip_{i} compris entre 00 et 11 tel que la somme de tous les pip_{i} soit égale à 11.

  • Un événement est un sous-ensemble de Ω\Omega .

Exemples

Le lancer d'un dé à six faces est une expérience aléatoire d'univers comportant 6 éventualités: Ω={1;2;3;4;5;6}\Omega =\left\{1; 2; 3; 4; 5; 6\right\}

  • L'ensemble E1={2;4;6}E_{1}=\left\{2; 4; 6\right\} est un événement. En français, cet événement peut se traduire par la phrase : « le résultat du dé est un nombre pair »

  • L'ensemble E2={1;2;3}E_{2}=\left\{1; 2; 3\right\} est un autre événement. Ce second événement peut se traduire par la phrase : « le résultat du dé est strictement inférieur à 4 ».

Ces événements peuvent être représentés par un diagramme de Venn : imgsvg{Diagramme de Venn}

Définitions

  • l'événement contraire de AA noté A¯\bar{A} est l'ensemble des éventualités de Ω\Omega qui n'appartiennent pas à AA.

  • l'événement ABA \cup B (lire « A union B » ou « A ou B » est constitué des éventualités qui appartiennent soit à A, soit à B, soit aux deux ensembles.

  • l'événement ABA \cap B (lire « A inter B » ou « A et B » est constitué des éventualités qui appartiennent à la fois à A et à B.

Exemple

On reprend l'exemple précédent : E1={2;4;6}E_{1}=\left\{2; 4; 6\right\} E2={1;2;3}E_{2}=\left\{1; 2; 3\right\}

  • E1={1;3;5}\overline{E}_{1}=\left\{1; 3; 5\right\} : cet événement peut se traduire par « le résultat est un nombre impair » imgsvg{Diagramme de Venn - Complémentaire}

  • E1E2={1;2;3;4;6}E_{1} \cup E_{2}=\left\{1; 2; 3; 4; 6\right\} : cet événement peut se traduire par « le résultat est pair ou strictement inférieur à 4 ». imgsvg{Diagramme de Venn - Union}

  • E1E2={2}E_{1} \cap E_{2}=\left\{2\right\} : cet événement peut se traduire par « le résultat est pair et strictement inférieur à 4 ». imgsvg{Diagramme de Venn - Intersection}

Définition

On dit que A et B sont incompatibles si et seulement si AB=A \cap B=\varnothing

Remarque

Deux événements contraires sont incompatibles mais deux événements peuvent être incompatibles sans être contraires.

Exemple

« Obtenir un chiffre inférieur à 2 » et « obtenir un chiffre supérieur à 4 » sont deux événements incompatibles.

Propriétés

  • p()=0p\left(\varnothing\right)=0

  • p(Ω)=1p\left(\Omega \right)=1

  • p(A)=1p(A)p\left(\overline{A}\right)=1 - p\left(A\right)

  • p(AB)=p(A)+p(B)p(AB)p\left(A \cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right) - p\left(A \cap B\right).

Si A et B sont incompatibles, la dernière égalité devient :

  • p(AB)=p(A)+p(B)p\left(A \cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right).

2. Arbre

Lorsqu'une expérience aléatoire comporte plusieurs étapes, on utilise souvent un arbre pondéré pour la représenter.

Exemple

Dans une classe de Terminale, 52% de garçons et 48% de filles étaient candidats au baccalauréat.

80% des garçons et 85% des filles ont obtenu leur diplôme.

On choisit un élève au hasard et on note :

  • GG : l'événement « l'élève choisi est un garçon »;

  • FF : l'événement « l'élève choisie est une fille »;

  • BB : l'événement « l'élève choisi(e) a obtenu son baccalauréat ».

On peut représenter la situation à l'aide de l'arbre pondéré ci-dessous :

Le premier niveau indique le genre de l'élève (GG ou FF) et le second indique l'obtention du diplôme (BB ou B\overline{B}).

On inscrit les probabilités sur chacune des branches.

La somme des probabilités inscrites sur les branches partant d’un même nœud est toujours égale à 1.

3. Probabilités conditionnelles

Définition

Soit A et B deux événements tels que p(A)0p\left(A\right)\neq 0, la probabilité de B sachant A est le nombre :

pA(B)=p(AB)p(A). p_{A}\left(B\right)=\frac{p\left(A \cap B\right)}{p\left(A\right)}.

On peut aussi noter cette probabilité p(B/A)p\left(B/A\right).

Exemple

On reprend l'exemple du lancer d'un dé. La probabilité d'obtenir un chiffre pair sachant que le chiffre obtenu est strictement inférieur à 4 est (en cas d'équiprobabilité) :

pE2(E1)=p(E1E2)p(E2)=13. p_{E_{2}}\left(E_{1}\right)=\frac{p\left(E_{1} \cap E_{2}\right)}{p\left(E_{2}\right)}=\frac{1}{3}.

Remarques

  • L'égalité précédente s'emploie souvent sous la forme :

    p(AB)=p(A)×pA(B)p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right)

    pour calculer la probabilité de ABA \cap B.

  • Attention à ne pas confondre pA(B)p_{A}\left(B\right) et p(AB)p\left(A \cap B\right) dans les exercices.
    On doit calculer pA(B)p_{A}\left(B\right) lorsque l'on sait que AA est réalisé.

  • Avec un arbre pondéré, les probabilités conditionnelles figurent sur les branches du second niveau et des niveaux supérieurs (s'il y en a).
    La probabilité inscrite sur la branche reliant AA à BB est pA(B)p_A(B).
    Typiquement, un arbre binaire à deux niveaux se présentera ainsi :

  • La formule p(AB)=p(A)×pA(B)p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right) s'interprète alors de la façon suivante :
    « La probabilité de l'événement ABA \cap B s'obtient en faisant le produit des probabilités inscrites sur le chemin passant par AA et BB ».

4. Événements indépendants

Définition

Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si :

p(AB)=p(A)×p(B). p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p\left(B\right).

Propriété

AA et BB sont indépendants si et seulement si :

pA(B)=p(B). p_{A}\left(B\right)=p\left(B\right).

Démonstration

Elle résulte directement du fait que pour deux événements quelconques :

p(AB)=p(A)×pA(B). p\left(A \cap B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right).

Remarque

Comme AB=BAA \cap B=B \cap A, AA et BB sont interchangeables dans cette formule et on a également :

AA et BB sont indépendants \Leftrightarrow pB(A)=p(A)p_{B}\left(A\right)=p\left(A\right).

5. Formule des probabilités totales

Définition

A1A_{1}, A2A_{2}, ... , AnA_{n} forment une partition de Ω\Omega si et seulement si A1A2...An=ΩA_{1} \cup A_{2} . . . \cup A_{n}=\Omega et AiAj=A_{i} \cap A_{j}=\varnothing pour iji\neq j.

Cas particulier fréquent

Pour toute partie AΩA\subset\Omega , AA et A\overline{A} forment une partition de Ω\Omega.

Propriété (Formule des probabilités totales)

Si A1A_{1}, A2A_{2},... AnA_{n} forment une partition de Ω\Omega , pour tout événement BB, on a :

p(B)=p(A1B)+p(A2B)+ p\left(B\right)=p\left(A_{1} \cap B\right)+p\left(A_{2} \cap B\right)+ \cdots +p(AnB). +p\left(A_{n} \cap B\right).

Cette formule peut également s'écrire à l'aide de probabilités conditionnelles :

p(B)=p(A1)×pA1(B)p\left(B\right)=p\left(A_{1} \right)\times p_{A_{1} }\left(B\right)+p(A2)×pA2(B)++p\left(A_{2} \right)\times p_{A_{2}}\left(B\right)+\cdots+p(An)×pAn(B)+p\left(A_{n}\right)\times p_{A_{n}}\left(B\right).

Cas particulier fréquent

En utilisant la partition {A,A}\left\{A, \overline{A}\right\}, quels que soient les événements AA et BB :

p(B)=p(AB)+p(AB)p\left(B\right)=p\left(A \cap B\right)+p\left(\overline{A} \cap B\right)
p(B)=p(A)×pA(B)+p(A)×pA(B)p\left(B\right)=p\left(A\right)\times p_{A}\left(B\right)+p\left(\overline{A}\right)\times p_{\overline{A}}\left(B\right).

Remarque

À l'aide d'un arbre pondéré, ce résultat s'interprète de la façon suivante :
« La probabilité de l'événement BB est égale à la somme des probabilités des trajets menant à BB ».