Produit scalaire
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Créer un compteObjectifs du chapitre
- 5 méthodes pour calculer un produit scalaire
- Déterminer le centre et le rayon d'un cercle à partir de son équation
- Déterminer une équation cartésienne de droite à partir d'un vecteur normal
- Déterminer une équation cartésienne de cercle
- Utiliser la formule d'Al-Kashi pour calculer une longueur ou un angle
- Déterminer un ensemble de points défini par un produit scalaire
1. Produit scalaire de deux vecteurs
Définition
Soient $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ deux vecteurs non nuls du plan.
On appelle produit scalaire de $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ le nombre réel noté $ \vec{u}\cdot\vec{v} $ défini par :
Si l'un des deux vecteurs est nul, on pose par convention $ \vec{u}\cdot\vec{v}=0 $.
Remarque
- Attention : le produit scalaire est un nombre réel et non un vecteur.
- On rappelle que $ ||\overrightarrow{AB}|| $ (norme du vecteur $ \overrightarrow{AB} $) désigne la longueur du segment $ AB $.
- Le cosinus d'un angle étant égal au cosinus de l'angle opposé, $ \cos\left(\vec{u}, \vec{v}\right)=\cos\left(\vec{v}, \vec{u}\right) $. Par conséquent le produit scalaire est symétrique : $ \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u} $.
Exemple
$ ABC $ est un triangle équilatéral dont le côté mesure $ 1 $ unité.
$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=1\times 1\times \cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2} $
Caractérisation de l'orthogonalité
Deux vecteurs $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ sont orthogonaux si et seulement si $ \vec{u}\cdot\vec{v}=0 $.
Démonstration
Si l'un des deux vecteurs est nul, le produit scalaire est nul et la propriété est vraie puisque, par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan.
Si les deux vecteurs sont non nuls, leurs normes sont non nulles, donc :
$ \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \iff \cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)=0 \iff \vec{u}\text{ et }\vec{v}\text{ sont orthogonaux} $
Bilinéarité et symétrie
Pour tous vecteurs $ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} $ et tout réel $ k $ :
- Symétrie : $ \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u} $
- Linéarité à gauche : $ \left(k\vec{u}\right)\cdot\vec{v}=k\left(\vec{u}\cdot\vec{v}\right) $ et $ \left(\vec{u}+\vec{v}\right)\cdot\vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w} $
- Linéarité à droite (conséquence de la symétrie) : $ \vec{u}\cdot\left(k\vec{v}\right)=k\left(\vec{u}\cdot\vec{v}\right) $ et $ \vec{u}\cdot\left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w} $
Carré scalaire
Soit $ \vec{u} $ un vecteur du plan. Le carré scalaire de $ \vec{u} $ est le réel noté $ \vec{u}^{2} $ défini par :
Démonstration
Le cosinus d'un angle nul vaut $ 1 $, donc $ \cos\left(\vec{u}, \vec{u}\right)=1 $. Par conséquent :
$ \vec{u}\cdot\vec{u}=||\vec{u}||\times ||\vec{u}||\times \cos\left(\vec{u},\vec{u}\right)=||\vec{u}||^{2} $
Identités de polarisation
Pour tous vecteurs $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ :
Démonstration
$ ||\vec{u}+\vec{v}||^{2}=\left(\vec{u}+\vec{v}\right)^{2}=\vec{u}^{2}+2\left(\vec{u}\cdot\vec{v}\right)+\vec{v}^{2}=||\vec{u}||^{2}+2\left(\vec{u}\cdot\vec{v}\right)+||\vec{v}||^{2} $
Par conséquent $ ||\vec{u}+\vec{v}||^{2} - ||\vec{u}||^{2} - ||\vec{v}||^{2}=2\left(\vec{u}\cdot\vec{v}\right) $, et on obtient la première égalité en divisant par $ 2 $.
On obtient la seconde égalité de la même manière en développant $ (\vec{u} - \vec{v})^{2} $.
Exemple
$ ABCD $ est un parallélogramme tel que $ AB=6 $, $ AC=4 $ et $ BC=5 $. On souhaite calculer $ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} $.
$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\left(||\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}||^{2} - ||\overrightarrow{AB}||^{2} - ||\overrightarrow{AD}||^{2}\right) $
Or $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} $ d'après la relation de Chasles. Par conséquent :
$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\left(AC^{2} - AB^{2} - AD^{2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(16 - 36 - 25\right)= - \dfrac{45}{2} $
Produit scalaire et projection orthogonale
Soient $ A, B, C $ trois points du plan et $ H $ la projection orthogonale de $ C $ sur la droite $ \left(AB\right) $. Alors :
- $ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AH $ si l'angle $ \widehat{BAC} $ est aigu ;
- $ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}= - AB\times AH $ si l'angle $ \widehat{BAC} $ est obtus.
Ici : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AH$
Exemple
Sur la figure ci-dessus où l'unité est le carreau, le point $ C $ se projette orthogonalement sur la droite $ \left(AB\right) $ en un point $ H $ (non représenté) tel que $ AH=2 $.
Par conséquent, l'angle $ \widehat{BAC} $ étant aigu :
$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AH=3\times 2=6 $
2. Produit scalaire dans un repère orthonormé
Expression en coordonnées
Le plan étant rapporté à un repère orthonormé $ \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) $, soient $ \vec{u}\left(x; y\right) $ et $ \vec{v}\left(x^{\prime}; y^{\prime}\right) $ deux vecteurs du plan. Alors :
Démonstration
Dire que $ \vec{u} $ a pour coordonnées $ \left(x ; y\right) $ signifie que $ \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j} $. De même $ \vec{v}=x^{\prime}\vec{i}+y^{\prime}\vec{j} $.
$ \vec{u}\cdot\vec{v}=\left(x\vec{i}+y\vec{j}\right)\cdot\left(x^{\prime}\vec{i}+y^{\prime}\vec{j}\right)=xx^{\prime}\vec{i}^{2}+xy^{\prime}\vec{i}\cdot\vec{j}+x^{\prime}y\vec{j}\cdot\vec{i}+yy^{\prime}\vec{j}^{2} $
Or le repère est orthonormé, donc $ \vec{i}^{2}=||\vec{i}||^{2}=1 $, $ \vec{j}^{2}=||\vec{j}||^{2}=1 $ et $ \vec{i}\cdot\vec{j}=0 $. Par conséquent :
$ \vec{u}\cdot\vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime} $
Norme en repère orthonormé
Dans un repère orthonormé, si $ \vec{u}\left(x ; y\right) $, alors :
Démonstration
C'est une conséquence directe du théorème précédent avec $ \vec{u}=\vec{v} $ :
$ ||\vec{u}||^{2}=\vec{u}\cdot\vec{u}=x\times x+y\times y=x^{2}+y^{2} $
Critère d'orthogonalité en coordonnées
Dans un repère orthonormé, deux vecteurs $ \vec{u}\left(x ; y\right) $ et $ \vec{v}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right) $ sont orthogonaux si et seulement si :
3. Applications du produit scalaire
de la médiane
Soient $ ABC $ un triangle quelconque et $ I $ le milieu de $ \left[BC\right] $. Alors :
Médiane dans un triangle
Remarque
La démonstration fait l'objet de l'exercice Théorème de la médiane.
Formule d'Al-Kashi
Soit $ ABC $ un triangle quelconque. Alors :
Remarque
- La démonstration fait l'objet de l'exercice Formule d'Al-Kashi.
- Si le triangle $ ABC $ est rectangle en $ A $, alors $ \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=0 $. On retrouve alors le théorème de Pythagore.
Transformation de MA·MB
Soient $ A $ et $ B $ deux points distincts du plan, et $ \Omega $ le milieu du segment $ [AB] $. Pour tout point $ M $ du plan :
Cercle de diamètre AB
L'ensemble des points $ M $ du plan tels que $ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 $ est le cercle de diamètre $ [AB] $.
Remarque
Ces deux résultats sont démontrés dans l'exercice Cercle de diamètre [AB] et produit scalaire.
4. Géométrie repérée
Vecteur normal à une droite
On dit qu'un vecteur $ \vec{n} $ non nul est normal à la droite $ d $ si et seulement si il est orthogonal à un vecteur directeur de $ d $.
Vecteur $\vec{n}$ normal à la droite $d$
Équation cartésienne et vecteur normal
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $ \left(O, \vec{i}, \vec{j}\right) $.
La droite $ d $ de vecteur normal $ \vec{n}\left(a ; b\right) $ admet une équation cartésienne de la forme :
où $ c $ est un nombre réel.
Réciproquement, l'ensemble des points $ M\left(x ; y\right) $ tels que $ ax+by+c=0 $ (avec $ a\neq 0 $ ou $ b\neq 0 $) est une droite dont $ \vec{n}\left(a ; b\right) $ est un vecteur normal et $ \vec{u}\left(-b ; a\right) $ un vecteur directeur.
Remarque
La démonstration fait l'objet de l'exercice Vecteur directeur et vecteur normal d'une droite.
Équation cartésienne d'un cercle
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $ \left(O, \vec{i}, \vec{j}\right) $.
Soient $ I\left(x_{I} ; y_{I}\right) $ un point du plan et $ r $ un réel positif. Une équation du cercle de centre $ I $ et de rayon $ r $ est :
Démonstration
Le point $ M\left(x ; y\right) $ appartient au cercle si et seulement si $ IM=r $. Comme $ IM $ et $ r $ sont positifs, cela équivaut à $ IM^{2}=r^{2} $. Or, d'après la propriété de la norme en coordonnées, $ IM^{2}=\left(x - x_{I}\right)^{2}+\left(y - y_{I}\right)^{2} $ ; on obtient donc le résultat annoncé.
Exemple
Le cercle de centre $ \Omega\left(3 ; 4\right) $ et de rayon $ 5 $ a pour équation :
$ \left(x - 3\right)^{2}+\left(y - 4\right)^{2}=25 $
En développant :
$ x^{2} - 6x+9+y^{2} - 8y+16=25 $
$ x^{2} - 6x+y^{2} - 8y=0 $
Ce cercle passe par l'origine $ O $ car l'équation est vérifiée pour $ x=0 $ et $ y=0 $.
Remarque
Une autre utilisation du produit scalaire est la démonstration des formules d'addition et de soustraction des cosinus et sinus : voir l'exercice Formule de soustraction des cosinus.
Les questions essentielles
1. Comment calculer concrètement un produit scalaire ?
Selon les données disponibles, on peut utiliser la projection orthogonale, la formule avec le cosinus, une identité de polarisation sur les normes, les coordonnées dans un repère orthonormé ou encore la relation de Chasles. Chacune est adaptée à un type de situation différent.
Voir la fiche méthode : 5 méthodes pour calculer un produit scalaire
2. Comment reconnaître un cercle à partir d'une équation et déterminer son centre et son rayon ?
À partir d'une équation de la forme $ x^2+y^2+ax+by+c=0 $, on regroupe les termes en $ x $ et en $ y $, puis on fait apparaître des carrés à l'aide d'identités remarquables pour se ramener à la forme $ (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=\gamma $. Le signe de $ \gamma $ permet de conclure.
Voir la fiche méthode : Déterminer le centre et le rayon d'un cercle à partir de son équation
3. Comment déterminer une équation cartésienne de droite à partir d'un vecteur normal ?
Les coordonnées $ (a;b) $ du vecteur normal donnent directement les coefficients de $ x $ et de $ y $ dans l'équation $ ax+by+c=0 $. On calcule ensuite $ c $ en utilisant les coordonnées d'un point connu de la droite.
Voir la fiche méthode : Déterminer une équation cartésienne de droite à partir d'un vecteur normal
4. Comment déterminer une équation cartésienne de cercle ?
Une fois le centre $ \Omega(\alpha;\beta) $ et le rayon $ r $ déterminés (directement, via un diamètre $ [AB] $ ou un point du cercle), on applique la formule $ (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r^2 $.
Voir la fiche méthode : Déterminer une équation cartésienne de cercle
5. Comment utiliser la formule d'Al-Kashi pour calculer une longueur ou un angle ?
La formule d'Al-Kashi permet de calculer le troisième côté d'un triangle connaissant deux côtés et l'angle qu'ils forment, ou de calculer un angle connaissant les trois côtés du triangle.
Voir la fiche méthode : Utiliser la formule d'Al-Kashi pour calculer une longueur ou un angle
6. Comment déterminer un ensemble de points défini par un produit scalaire ?
Pour un ensemble défini par $ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=k $, on introduit le milieu $ \Omega $ de $ [AB] $ et on applique la formule $ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=M\Omega^2-\dfrac{AB^2}{4} $. On reconnaît alors un cercle, un point ou l'ensemble vide selon le signe obtenu.
Voir la fiche méthode : Déterminer un ensemble de points défini par un produit scalaire