Déterminer une équation cartésienne de droite à partir d’un vecteur normal
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Soit $ d $ une droite du plan, rapporté à un repère orthonormé $ \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) $. Si $ \vec{n}\left(a ; b\right) $ est un vecteur normal à $ d $, alors $ d $ admet une équation cartésienne de la forme $ ax+by+c=0 $, où $ c $ est un réel.
En pratique, pour déterminer une équation cartésienne d'une droite connaissant un vecteur normal $ \vec{n}(a;b) $ et un point $ A(x_A;y_A) $ de cette droite :
- Identifier les coordonnées du vecteur normal $ \vec{n}(a;b) $ : elles donnent directement les coefficients de $ x $ et de $ y $ dans l'équation $ ax+by+c=0 $.
- Remplacer $ x $ par $ x_A $ et $ y $ par $ y_A $ dans cette équation pour calculer $ c $ : $ c=-ax_A-by_A $.
- Conclure en écrivant l'équation obtenue, éventuellement simplifiée en divisant par un diviseur commun aux trois coefficients.
Droite définie par un point et un vecteur normal
On cherche une équation cartésienne de la droite $ d $ passant par $ A(2;-3) $ et de vecteur normal $ \vec{n}(4;1) $.
Étape 1 : Les coordonnées de $ \vec{n} $ donnent les coefficients de $ x $ et $ y $. L'équation de $ d $ est donc de la forme :
Étape 2 : Le point $ A(2;-3) $ appartient à $ d $, donc ses coordonnées vérifient cette équation :
$ 4\times 2+(-3)+c=0 $
$ 8-3+c=0 $
$ c=-5 $
Étape 3 : On en déduit qu'une équation cartésienne de $ d $ est :
Équation de la médiatrice d'un segment
Dans un repère orthonormé, on donne $ A(-1;2) $ et $ B(3;4) $. On cherche une équation cartésienne de la médiatrice $ \Delta $ du segment $ [AB] $.
Étape 1 : La médiatrice de $ [AB] $ est la droite perpendiculaire à $ (AB) $ passant par le milieu $ I $ de $ [AB] $. Le vecteur $ \overrightarrow{AB} $ est donc un vecteur normal à $ \Delta $.
Ses coordonnées sont : $ \overrightarrow{AB}\left(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\right) $, soit $ \overrightarrow{AB}(4;2) $.
L'équation de $ \Delta $ est donc de la forme :
Étape 2 : Les coordonnées du milieu $ I $ sont :
$ I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)=I\left(\dfrac{-1+3}{2}\,;\,\dfrac{2+4}{2}\right)=I(1;3) $
Étape 3 : $ I $ appartient à $ \Delta $, donc :
$ 4\times 1+2\times 3+c=0 $
$ 4+6+c=0 $
$ c=-10 $
Étape 4 : Une équation de $ \Delta $ est $ 4x+2y-10=0 $. En divisant les trois coefficients par $ 2 $, on obtient la forme simplifiée :
Remarque
Pour déterminer un vecteur normal à une droite à partir d'une équation $ ax+by+c=0 $, il suffit de lire directement les coefficients : $ \vec{n}(a;b) $ est un vecteur normal.
Réciproquement, $ \vec{u}(-b;a) $ est un vecteur directeur de cette droite.
Attention
- Le repère doit être orthonormé pour que la notion de vecteur normal ait un sens à partir des coordonnées.
- Ne pas confondre vecteur normal et vecteur directeur : un vecteur normal est orthogonal à la droite, alors qu'un vecteur directeur est parallèle à la droite.
- Une droite possède une infinité de vecteurs normaux (tous colinéaires entre eux) et une infinité d'équations cartésiennes (toutes proportionnelles entre elles).