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Produit scalaire Exercices

[ROC] Vecteur directeur et vecteur normal d’une droite

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

Énoncé

Prérequis : on suppose connu le résultat suivant. Si $ d $ est une droite passant par un point $ A $ et de vecteur directeur $ \vec{u} $, alors :

$ M \in d \iff \overrightarrow{AM}\text{ et }\vec{u}\text{ sont colinéaires} $

Dans tout l'exercice, le plan est rapporté à un repère orthonormé $ \left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right) $.

Partie A

Soient $ d $ la droite d'équation $ ax+by+c=0 $ avec $ a\neq 0 $ ou $ b\neq 0 $, et $ A\left(x_{A} ; y_{A}\right) $ un point de $ d $.

  1. Montrer que le point $ B $ de coordonnées $ \left(x_{A} - b ; y_{A}+a\right) $ appartient à la droite $ d $.
  2. En déduire que le vecteur $ \vec{u}\left( - b ; a\right) $ est un vecteur directeur de $ d $.
  3. Montrer que le vecteur $ \vec{n}\left(a ; b\right) $ est un vecteur normal à $ d $.

Partie B (Réciproque de la partie A)

Soient un point $ A\left(x_{A} ; y_{A}\right) $ et un vecteur $ \vec{n}\left(a ; b\right) $ non nul, et soit $ d $ la droite passant par $ A $ et de vecteur normal $ \vec{n} $.

  1. Montrer que le vecteur $ \vec{u}\left( - b ; a\right) $ est orthogonal au vecteur $ \vec{n} $.

  2. En déduire que le point $ M\left(x ; y\right) $ appartient à $ d $ si et seulement si :

    $ ax+by+c=0 $

    où $ a $ et $ b $ sont les coordonnées de $ \vec{n} $ et $ c $ un réel que l'on déterminera en fonction de $ a, b, x_{A} $ et $ y_{A} $. (On pourra utiliser le résultat énoncé en prérequis.)

  3. Application. Déterminer une équation cartésienne de la droite $ \Delta $ passant par le point $ A\left(1 ; - 1\right) $ et dont un vecteur normal est $ \vec{n}\left( - 2 ; 3\right) $.

Corrigé

Partie A

  1. On remplace $ x $ par $ x_A - b $ et $ y $ par $ y_A + a $ dans l'équation de $ d $ :

    $ a(x_A - b) + b(y_A + a) + c = a x_A - ab + b y_A + ab + c = a x_A + b y_A + c $

    Or $ A $ appartient à $ d $, donc $ a x_A + b y_A + c = 0 $. Par conséquent, $ B $ vérifie l'équation de $ d $ et appartient bien à la droite.

  2. Les points $ A $ et $ B $ appartiennent à $ d $, donc le vecteur $ \overrightarrow{AB} $ est un vecteur directeur de $ d $. Or :

    $ \overrightarrow{AB}\left(x_B - x_A ; y_B - y_A\right) = \overrightarrow{AB}(-b ; a) $

    Donc $ \vec{u}(-b ; a) $ est bien un vecteur directeur de $ d $.

  3. Calculons le produit scalaire $ \vec{u}\cdot\vec{n} $ en utilisant la formule en repère orthonormé :

    $ \vec{u}\cdot\vec{n} = (-b)\times a + a\times b = -ab + ab = 0 $

    Donc $ \vec{u} $ et $ \vec{n} $ sont orthogonaux. Comme $ \vec{u} $ est un vecteur directeur de $ d $, le vecteur $ \vec{n}(a ; b) $ est un vecteur normal à $ d $.

Partie B

  1. On calcule à nouveau le produit scalaire :

    $ \vec{u}\cdot\vec{n} = (-b)\times a + a\times b = 0 $

    Les vecteurs $ \vec{u}(-b ; a) $ et $ \vec{n}(a ; b) $ sont donc orthogonaux.

  2. Puisque $ \vec{u} $ est orthogonal à $ \vec{n} $ (question 1) et que $ \vec{n} $ est un vecteur normal à $ d $, le vecteur $ \vec{u}(-b ; a) $ est un vecteur directeur de $ d $.

    D'après le prérequis, un point $ M(x ; y) $ appartient à $ d $ si et seulement si $ \overrightarrow{AM} $ et $ \vec{u} $ sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si :

    $ (x - x_A)\times a - (y - y_A)\times(-b) = 0 $

    (critère de colinéarité avec le déterminant nul). Ce qui équivaut à :

    $ a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0 $
    $ ax + by - a x_A - b y_A = 0 $

    En posant $ c = -a x_A - b y_A $, on obtient :

    $ ax + by + c = 0 $

  3. Ici, $ a = -2 $, $ b = 3 $, $ x_A = 1 $ et $ y_A = -1 $. Donc :

    $ c = -a x_A - b y_A = -(-2)\times 1 - 3\times(-1) = 2 + 3 = 5 $

    Une équation cartésienne de $ \Delta $ est donc :

    $ -2x + 3y + 5 = 0 $

Pour réviser : Déterminer une équation cartésienne de droite à partir d'un vecteur normal