[ROC] Vecteur directeur et vecteur normal d’une droite

Prérequis : On suppose connu le résultat suivant :
Si d une droite passant par un point A et de vecteur directeur \vec{u}

M \in d \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} et \vec{u} sont colinéaires.

Dans tout l’exercice, le plan est rapporté à un repère orthonormé \left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right)

Partie A

Soient d la droite d’équation ax+by+c=0 avec a\neq 0 ou b\neq 0 et A\left(x_{A} ; y_{A}\right) un point de d.

1. Montrer que le point B de coordonnées \left(x_{A}-b ; y_{A}+a\right) appartient à la droite d.
2. En déduire que le vecteur \vec{u}\left(-b ; a\right) est un vecteur directeur de d.
3. Montrer que le vecteur \vec{n}\left(a ; b\right) est un vecteur normal à d.

Partie B (Réciproque de la partie A)

Soient un point A\left(x_{A} ; y_{A}\right) et un vecteur \vec{n}\left(a ; b\right) et soit d la droite passant par A et de vecteur normal \vec{n}.

1. Montrer que le vecteur \vec{u}\left(-b ; a\right) est orthogonal au vecteur \vec{n}
2. En déduire que le point M\left(x ; y\right) appartient à d si et seulement si :

   ax+by+c=0

   où a et b sont les coordonnées de \vec{n} et c un réel que l’on déterminera en fonction de a, b, x_{A} et y_{A}. (On pourra utiliser le résultat énoncé en prérequis)

3. Application.
   Déterminer l’équation de la droite \Delta passant par le point A\left(1 ; -1\right) et dont un vecteur normal est \vec{n}\left( -2 ; 3\right)