Déterminer un ensemble de points défini par un produit scalaire
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Formule de transformation
Soient $ A $ et $ B $ deux points distincts du plan, et $ \Omega $ le milieu du segment $ [AB] $. Pour tout point $ M $ du plan :
![Segment [AB], son milieu Ω, un point M et le cercle de centre Ω passant par M](/assets/svg/ensemble-points-produit-scalaire-ma-mb-graph-bb-43.svg?v=1780815448)
Méthode
Pour déterminer l'ensemble $ \mathcal{E} $ des points $ M $ tels que $ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=k $ (où $ k $ est un réel donné) :
- Introduire le milieu $ \Omega $ du segment $ [AB] $ et calculer $ AB^2 $.
- Transformer l'équation à l'aide de la formule : $ M\Omega^2-\dfrac{AB^2}{4}=k $, c'est-à-dire $ M\Omega^2=k+\dfrac{AB^2}{4} $.
- Conclure selon le signe de $ k+\dfrac{AB^2}{4} $ :
- si $ k+\dfrac{AB^2}{4}>0 $ : $ \mathcal{E} $ est le cercle de centre $ \Omega $ et de rayon $ \sqrt{k+\dfrac{AB^2}{4}} $ ;
- si $ k+\dfrac{AB^2}{4}=0 $ : $ \mathcal{E} $ est réduit au point $ \Omega $ ;
- si $ k+\dfrac{AB^2}{4}<0 $ : $ \mathcal{E} $ est l'ensemble vide.
Cas $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=k$ avec $k>0$
Dans un repère orthonormé, on donne $ A(2;0) $ et $ B(-2;0) $. On cherche l'ensemble $ \mathcal{E} $ des points $ M $ tels que $ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=5 $.
Étape 1 : Le milieu de $ [AB] $ est $ \Omega=O(0;0) $ (origine du repère). La longueur $ AB $ vaut $ 4 $, donc $ \dfrac{AB^2}{4}=\dfrac{16}{4}=4 $.
Étape 2 : D'après la formule de transformation :
$ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=5 $
$ M\Omega^2-4=5 $
$ M\Omega^2=9 $
Étape 3 : On obtient $ M\Omega=3 $ (car $ M\Omega\geqslant 0 $).
L'ensemble $ \mathcal{E} $ est donc le cercle de centre $ O $ et de rayon $ 3 $, d'équation $ x^2+y^2=9 $.
Cas particulier $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$
Soient $ A $ et $ B $ deux points distincts du plan. On cherche l'ensemble $ \mathcal{E} $ des points $ M $ tels que $ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 $.
Étape 1 : On note $ \Omega $ le milieu du segment $ [AB] $. La valeur de $ AB $ n'est pas donnée mais on la conserve sous forme littérale.
Étape 2 : D'après la formule de transformation :
$ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 $
$ M\Omega^2-\dfrac{AB^2}{4}=0 $
$ M\Omega^2=\dfrac{AB^2}{4} $
Étape 3 : On en déduit $ M\Omega=\dfrac{AB}{2} $.
L'ensemble $ \mathcal{E} $ est donc le cercle de centre $ \Omega $ (milieu de $ [AB] $) et de rayon $ \dfrac{AB}{2} $ : c'est le cercle de diamètre $ [AB] $.
Remarque
On retrouve ainsi directement la propriété du cours : l'ensemble des points $ M $ tels que $ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 $ est le cercle de diamètre $ [AB] $. C'est le cas particulier le plus utilisé en pratique.
Autre approche : les coordonnées
Lorsque les points $ A $ et $ B $ sont donnés par leurs coordonnées dans un repère orthonormé, on peut aussi procéder par le calcul direct. Pour un point $ M(x;y) $ :
- calculer les coordonnées de $ \overrightarrow{MA} $ et $ \overrightarrow{MB} $ ;
- exprimer $ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} $ en fonction de $ x $ et $ y $ ;
- résoudre l'équation obtenue, qui se ramène à la mise sous forme canonique d'une équation du second degré (voir la méthode Déterminer le centre et le rayon d'un cercle à partir de son équation).
Attention
- Bien distinguer $ AB^2 $ (carré d'une longueur, toujours positif) et $ \dfrac{AB^2}{4} $ (quart de ce carré, qui apparaît dans la formule).
- Lorsque $ k $ est négatif, l'ensemble peut être vide : il est essentiel d'étudier le signe de $ k+\dfrac{AB^2}{4} $ avant de conclure.
- Le point $ \Omega $ est toujours le milieu du segment $ [AB] $, quels que soient les points $ A $ et $ B $ fixés au départ.