Cosinus d’un angle aigu
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1. Côté adjacent et hypoténuse
Côté adjacent à un angle aigu
Dans un triangle rectangle, pour chaque angle aigu :
- L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit (c'est le plus grand côté du triangle).
- Le côté adjacent à l'angle aigu est le côté de l'angle droit qui touche aussi cet angle.
Exemple
Le triangle $ABC$ ci-dessus est rectangle en $A$. L'hypoténuse est $[BC]$.
- Pour l'angle $\widehat{BCA}$ : le côté adjacent est $[CA]$.
- Pour l'angle $\widehat{ABC}$ : le côté adjacent est $[BA]$.
Remarque
Le côté adjacent change selon l'angle aigu considéré, mais l'hypoténuse reste toujours la même : c'est le côté opposé à l'angle droit.
2. Cosinus d'un angle aigu
Cosinus d'un angle aigu
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse.
Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ :
Remarque
Le cosinus d'un angle aigu est toujours compris strictement entre $0$ et $1$ (le côté adjacent est plus court que l'hypoténuse).
Le cosinus fait partie de la trigonométrie. En 3e, le sinus et la tangente compléteront cette notion.
Exemple
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 4$ cm, $AC = 3$ cm et $BC = 5$ cm.
Le triangle est rectangle en $A$, donc $[BC]$ est l'hypoténuse.
$\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{BA}{BC} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$
$\cos(\widehat{BCA}) = \dfrac{CA}{BC} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$
3. Calculer une longueur avec le cosinus
Lorsqu'on connaît un angle aigu et une longueur dans un triangle rectangle, on peut utiliser le cosinus pour calculer une autre longueur.
Calculer le côté adjacent
Le triangle $DEF$ est rectangle en $D$ tel que $EF = 8$ cm et $\widehat{DEF} = 35^{\circ}$. Calculer $DE$.
Le triangle $DEF$ est rectangle en $D$, donc $[EF]$ est l'hypoténuse.
Le côté adjacent à $\widehat{DEF}$ est $[DE]$.
$\cos(\widehat{DEF}) = \dfrac{DE}{EF}$
$\cos(35^{\circ}) = \dfrac{DE}{8}$
$DE = 8 \times \cos(35^{\circ}) \approx 8 \times 0{,}819 \approx 6{,}6$ cm
Calculer l'hypoténuse
Le triangle $MNP$ est rectangle en $N$ tel que $MN = 6$ cm et $\widehat{NMP} = 40^{\circ}$. Calculer $MP$.
Le triangle $MNP$ est rectangle en $N$, donc $[MP]$ est l'hypoténuse.
Le côté adjacent à $\widehat{NMP}$ est $[MN]$.
$\cos(\widehat{NMP}) = \dfrac{MN}{MP}$
$\cos(40^{\circ}) = \dfrac{6}{MP}$
Donc $MP = \dfrac{6}{\cos(40^{\circ})} \approx \dfrac{6}{0{,}766} \approx 7{,}8$ cm
Problème concret
Une échelle de $5$ m est appuyée contre un mur vertical. Elle forme un angle de $70^{\circ}$ avec le sol. Calculer la distance entre le pied de l'échelle et le mur.
La situation forme un triangle rectangle (le mur est perpendiculaire au sol).
L'échelle est l'hypoténuse ($5$ m). Notons $d$ la distance cherchée : c'est le côté adjacent à l'angle de $70^{\circ}$.
$\cos(70^{\circ}) = \dfrac{d}{5}$
$d = 5 \times \cos(70^{\circ}) \approx 5 \times 0{,}342 \approx 1{,}7$ m
Le pied de l'échelle est à environ $1{,}7$ m du mur.
Attention
- Identifier correctement le côté adjacent et l'hypoténuse par rapport à l'angle considéré.
- Vérifier que la calculatrice est en mode degrés (et non en radians).
- Le cosinus relie un angle au côté adjacent et à l'hypoténuse. Si on connaît deux côtés sans angle, on utilise le théorème de Pythagore.
4. Calculer la mesure d'un angle
Lorsqu'on connaît le côté adjacent et l'hypoténuse dans un triangle rectangle, on peut calculer la mesure de l'angle aigu grâce à la touche $\cos^{-1}$ (ou arccos) de la calculatrice.
Propriété
Si $\cos(\widehat{ABC}) = k$ alors $\widehat{ABC} = \cos^{-1}(k)$.
La touche $\cos^{-1}$ de la calculatrice donne la mesure de l'angle dont le cosinus vaut $k$.
Exemple
Le triangle $RST$ est rectangle en $S$ tel que $RS = 4{,}2$ cm et $RT = 7$ cm. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{TRS}$, arrondie au degré.
Le triangle $RST$ est rectangle en $S$, donc $[RT]$ est l'hypoténuse.
Le côté adjacent à $\widehat{TRS}$ est $[RS]$.
$\cos(\widehat{TRS}) = \dfrac{RS}{RT} = \dfrac{4{,}2}{7} = 0{,}6$
$\widehat{TRS} = \cos^{-1}(0{,}6) \approx 53^{\circ}$
Problème concret
Un câble de $10$ m est tendu entre le sommet d'un poteau vertical et un point au sol situé à $7$ m du pied du poteau. Calculer l'angle que fait le câble avec le sol, arrondi au degré.
La situation forme un triangle rectangle (le poteau est perpendiculaire au sol).
Le câble est l'hypoténuse ($10$ m) et la distance au sol est le côté adjacent ($7$ m). Notons $\alpha$ l'angle cherché.
$\cos(\alpha) = \dfrac{7}{10} = 0{,}7$
$\alpha = \cos^{-1}(0{,}7) \approx 46^{\circ}$
Le câble fait un angle d'environ $46^{\circ}$ avec le sol.
Les questions essentielles
1. Comment calculer le côté adjacent avec le cosinus ?
On utilise la formule du cosinus : côté adjacent = hypoténuse $\times$ cos(angle). On multiplie l'hypoténuse par le cosinus de l'angle pour obtenir le côté adjacent.
Voir la fiche méthode : Calculer le côté adjacent avec le cosinus
2. Comment calculer l'hypoténuse avec le cosinus ?
On utilise la même formule en isolant l'hypoténuse : hypoténuse = côté adjacent / cos(angle). On divise le côté adjacent par le cosinus de l'angle.
Voir la fiche méthode : Calculer l'hypoténuse avec le cosinus
3. Comment calculer un angle avec le cosinus ?
On calcule le rapport côté adjacent sur hypoténuse, puis on utilise la touche $\cos^{-1}$ de la calculatrice pour obtenir la mesure de l'angle.
Voir la fiche méthode : Calculer la mesure d'un angle avec le cosinus
4. Comment résoudre un problème concret avec le cosinus ?
On repère le triangle rectangle dans la situation, on identifie le côté adjacent et l'hypoténuse, puis on applique la formule du cosinus selon la grandeur cherchée (longueur ou angle).
Voir la fiche méthode : Résoudre un problème concret avec le cosinus