Utiliser la formule d’Al-Kashi pour calculer une longueur ou un angle
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Créer un compteFormule d'Al-Kashi
Soit $ ABC $ un triangle quelconque. Alors :
La formule est valable pour chacun des trois angles du triangle, en permutant les lettres.
Méthode
Il y a deux usages principaux de la formule d'Al-Kashi.
Pour calculer un côté en connaissant les deux autres côtés et l'angle compris entre eux :
- Repérer l'angle et les deux côtés qui forment cet angle.
- Appliquer la formule d'Al-Kashi : $ BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\times AC\,\cos\left(\widehat{BAC}\right) $.
- Prendre la racine carrée du résultat pour obtenir la longueur cherchée.
Pour calculer un angle en connaissant les trois côtés du triangle :
- Isoler le cosinus de l'angle recherché : $ \cos\left(\widehat{BAC}\right)=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\times AB\times AC} $.
- Calculer la valeur de ce cosinus.
- En déduire la mesure de l'angle avec la touche $ \cos^{-1} $ (ou $ \arccos $) de la calculatrice.
Calculer un côté
Dans le triangle $ ABC $, on a $ AB=5 $, $ AC=7 $ et $ \widehat{BAC}=60^{\circ} $. On cherche la longueur $ BC $.
Étape 1 : L'angle $ \widehat{BAC} $ est l'angle compris entre les côtés $ [AB] $ et $ [AC] $ : la formule d'Al-Kashi s'applique directement.
Étape 2 : On applique la formule avec $ \cos(60^{\circ})=\dfrac{1}{2} $ :
$ BC^2=AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times \cos\left(\widehat{BAC}\right) $
$ BC^2=5^2+7^2-2\times 5\times 7\times \dfrac{1}{2} $
$ BC^2=25+49-35 $
$ BC^2=39 $
Étape 3 : Comme $ BC $ est une longueur, elle est positive :
Calculer un angle
Dans le triangle $ ABC $, on a $ AB=8 $, $ AC=5 $ et $ BC=7 $. On cherche la mesure de l'angle $ \widehat{BAC} $.
Étape 1 : Les trois côtés sont connus : on isole $ \cos\left(\widehat{BAC}\right) $ dans la formule d'Al-Kashi.
$ BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\times AC\,\cos\left(\widehat{BAC}\right) $
$ \cos\left(\widehat{BAC}\right)=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\times AB\times AC} $
Étape 2 : On remplace par les valeurs numériques :
$ \cos\left(\widehat{BAC}\right)=\dfrac{8^2+5^2-7^2}{2\times 8\times 5}=\dfrac{64+25-49}{80}=\dfrac{40}{80}=\dfrac{1}{2} $
Étape 3 : On en déduit la mesure de l'angle :
Remarque
Si l'angle $ \widehat{BAC} $ est un angle droit, alors $ \cos\left(\widehat{BAC}\right)=0 $ et la formule d'Al-Kashi devient :
On retrouve le théorème de Pythagore : Al-Kashi est donc une généralisation du théorème de Pythagore à un triangle quelconque.
Attention
- L'angle utilisé dans la formule doit être l'angle compris entre les deux côtés qui apparaissent dans le produit $ AB\times AC $. Ne pas utiliser un angle adjacent.
- Ne pas oublier le facteur $ 2 $ devant le produit $ AB\times AC\times \cos\left(\widehat{BAC}\right) $.
- Si $ \cos\left(\widehat{BAC}\right) $ est négatif, l'angle $ \widehat{BAC} $ est obtus : la formule reste valable, mais le terme $ -2\,AB\times AC\,\cos\left(\widehat{BAC}\right) $ devient positif.