Déterminer une équation cartésienne de cercle
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Le plan est rapporté à un repère orthonormé $ \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) $. Le cercle de centre $ \Omega(\alpha;\beta) $ et de rayon $ r>0 $ admet pour équation cartésienne :
En pratique, pour déterminer une équation cartésienne d'un cercle :
- Identifier (ou calculer) les coordonnées du centre $ \Omega(\alpha;\beta) $ et le rayon $ r $.
- Écrire l'équation sous la forme normale $ (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r^2 $.
- Développer si l'on souhaite obtenir une équation sous la forme $ x^2+y^2+ax+by+c=0 $.
Cercle défini par son centre et son rayon
On cherche une équation cartésienne du cercle $ \mathcal{C} $ de centre $ \Omega(3;-2) $ et de rayon $ r=4 $.
Étape 1 : Ici, le centre et le rayon sont directement donnés : $ \alpha=3 $, $ \beta=-2 $ et $ r=4 $.
Étape 2 : On applique la formule avec $ r^2=16 $ :
Étape 3 : En développant, on obtient la forme équivalente :
$ x^2-6x+9+y^2+4y+4=16 $
$ x^2+y^2-6x+4y-3=0 $
Cercle de diamètre AB
On donne $ A(-1;2) $ et $ B(5;-4) $. On cherche une équation cartésienne du cercle $ \mathcal{C} $ de diamètre $ [AB] $.
Étape 1 : Le centre $ \Omega $ du cercle est le milieu du segment $ [AB] $ :
$ \Omega\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)=\Omega\left(\dfrac{-1+5}{2}\,;\,\dfrac{2-4}{2}\right)=\Omega(2;-1) $
Étape 2 : Le rayon $ r $ est égal à la moitié de la longueur $ AB $. On peut le calculer directement en prenant $ r=\Omega A $ :
$ r^2=\Omega A^2=(x_A-x_\Omega)^2+(y_A-y_\Omega)^2=(-1-2)^2+(2-(-1))^2=9+9=18 $
Étape 3 : On en déduit une équation cartésienne de $ \mathcal{C} $ :
Remarque
Pour déterminer le centre et le rayon d'un cercle donné sous la forme développée $ x^2+y^2+ax+by+c=0 $, on procède dans l'autre sens : voir la méthode Déterminer le centre et le rayon d'un cercle à partir de son équation.
Lien avec le produit scalaire
Le cercle de diamètre $ [AB] $ peut aussi se définir comme l'ensemble des points $ M $ vérifiant $ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 $. En développant cette égalité dans un repère, on retrouve l'équation obtenue par la méthode ci-dessus. Cette approche est utile quand le rayon est plus long à calculer que le produit scalaire.
Attention
- Le repère doit être orthonormé pour que la formule $ (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r^2 $ soit valable.
- Attention aux signes dans les parenthèses : si $ \beta=-2 $, l'équation contient $ (y-(-2))^2=(y+2)^2 $, et non $ (y-2)^2 $.
- Le rayon $ r $ est toujours positif ; c'est $ r^2 $ qui apparaît dans l'équation.