[ROC] Cercle de diamètre [AB] et produit scalaire

1. D'après la relation de Chasles :

   $ \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{M\Omega} + \overrightarrow{\Omega A} $
   $ \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{M\Omega} + \overrightarrow{\Omega B} $

   Or $ \Omega $ est le milieu de $ [AB] $, donc $ \overrightarrow{\Omega B} = -\overrightarrow{\Omega A} $. Par conséquent :

   $ \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{M\Omega} - \overrightarrow{\Omega A} $

2. On calcule le produit scalaire à l'aide de l'identité $ (\vec{x}+\vec{y})\cdot(\vec{x}-\vec{y}) = \vec{x}^{2} - \vec{y}^{2} $ :

   $ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = \left(\overrightarrow{M\Omega} + \overrightarrow{\Omega A}\right)\cdot\left(\overrightarrow{M\Omega} - \overrightarrow{\Omega A}\right) $
   $ \phantom{\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}} = \overrightarrow{M\Omega}^{2} - \overrightarrow{\Omega A}^{2} $
   $ \phantom{\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}} = M\Omega^{2} - \Omega A^{2} $

   Or, $ \Omega $ étant le milieu de $ [AB] $, on a $ \Omega A = \dfrac{AB}{2} $, donc $ \Omega A^{2} = \dfrac{AB^{2}}{4} $. Finalement :

   $ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = M\Omega^{2} - \dfrac{AB^{2}}{4} $

3. D'après la question 2 :

   $ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0 \iff M\Omega^{2} = \dfrac{AB^{2}}{4} \iff M\Omega = \dfrac{AB}{2} $

   (car $ M\Omega $ et $ AB $ sont des longueurs positives).

   L'ensemble des points $ M $ tels que $ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0 $ est donc le cercle de centre $ \Omega $ (milieu de $ [AB] $) et de rayon $ \dfrac{AB}{2} $, c'est-à-dire le cercle de diamètre $ [AB] $.

Pour réviser : Déterminer un ensemble de points défini par un produit scalaire