Développer avec les identités remarquables
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Créer un compteLes trois identités remarquables (développement)
- $ (a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} $
- $ (a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2} $
- $ (a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2} $
Méthode
Pour développer avec une identité remarquable :
- Identifier la forme de l'expression : est-ce un carré d'une somme, un carré d'une différence, ou un produit somme-différence ?
- Repérer les valeurs de $ a $ et $ b $.
- Appliquer la formule correspondante.
- Simplifier les puissances et les produits obtenus.
Carré d'une somme
Développer $ A = (3x + 5)^{2} $.
Étape 1 : L'expression est de la forme $ (a + b)^{2} $ avec $ a = 3x $ et $ b = 5 $.
Étape 2 : On applique $ (a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} $ :
$ A = (3x)^{2} + 2 \times 3x \times 5 + 5^{2} $
$ A = 9x^{2} + 30x + 25 $
Carré d'une différence
Développer $ B = (4x - 3)^{2} $.
Étape 1 : L'expression est de la forme $ (a - b)^{2} $ avec $ a = 4x $ et $ b = 3 $.
Étape 2 : On applique $ (a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2} $ :
$ B = (4x)^{2} - 2 \times 4x \times 3 + 3^{2} $
$ B = 16x^{2} - 24x + 9 $
Produit somme-différence
Développer $ C = (2x + 7)(2x - 7) $.
Étape 1 : L'expression est de la forme $ (a + b)(a - b) $ avec $ a = 2x $ et $ b = 7 $.
Étape 2 : On applique $ (a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2} $ :
$ C = (2x)^{2} - 7^{2} $
$ C = 4x^{2} - 49 $
Attention
L'erreur la plus courante est d'oublier le double produit dans le carré d'une somme ou d'une différence :
$ (a + b)^{2} \neq a^{2} + b^{2} $
Par exemple : $ (x + 3)^{2} = x^{2} + 6x + 9 $ et non $ x^{2} + 9 $.