Étudier une suite arithmético-géométrique

Soit $ \left(u_{n}\right) $ définie par $ u_{0}=5 $ et $ u_{n+1}=0{,}6\, u_{n}+4 $.

On pose, pour tout $ n\in \mathbb{N} $, $ v_{n}=u_{n}-10 $.

1. Démontrer que $ \left(v_{n}\right) $ est une suite géométrique.
2. En déduire $ u_{n} $ en fonction de $ n $.
3. Déterminer la limite de $ \left(u_{n}\right) $.

1. Démonstration

Pour tout $ n\in \mathbb{N} $ :

$ v_{n+1}=u_{n+1}-10 $

$ \quad =0{,}6\, u_{n}+4-10 $

$ \quad =0{,}6\, u_{n}-6 $

$ \quad =0{,}6\left(u_{n}-10\right) $

$ \quad =0{,}6\, v_{n} $

Donc $ \left(v_{n}\right) $ est géométrique de raison $ q=0{,}6 $ et de premier terme $ v_{0}=u_{0}-10=5-10=-5 $.

2. Expression de $ u_{n} $

Pour tout $ n\in \mathbb{N} $ :

$ v_{n}=v_{0}\times q^{n}=-5\times 0{,}6^{n} $

Comme $ u_{n}=v_{n}+10 $ :

3. Limite

$ 0 < 0{,}6 < 1 $ donc $ \lim_{n\rightarrow +\infty } 0{,}6^{n}=0 $.

Par produit puis par somme :

Soit $ \left(u_{n}\right) $ définie par $ u_{0}=1 $ et $ u_{n+1}=2\, u_{n}+3 $.

1. Trouver le point fixe $ \ell $ vérifiant $ \ell =2\ell +3 $.
2. Démontrer que la suite $ \left(v_{n}\right) $ définie par $ v_{n}=u_{n}+3 $ est géométrique.
3. En déduire $ u_{n} $ en fonction de $ n $, puis sa limite.

1. Point fixe

$ \ell =2\ell +3\Leftrightarrow -\ell =3\Leftrightarrow \ell =-3 $

On posera donc $ v_{n}=u_{n}-\ell =u_{n}+3 $.

2. Caractère géométrique

Pour tout $ n\in \mathbb{N} $ :

$ v_{n+1}=u_{n+1}+3 $

$ \quad =2\, u_{n}+3+3 $

$ \quad =2\, u_{n}+6 $

$ \quad =2\left(u_{n}+3\right) $

$ \quad =2\, v_{n} $

Donc $ \left(v_{n}\right) $ est géométrique de raison $ q=2 $ et de premier terme $ v_{0}=u_{0}+3=1+3=4 $.

3. Expression et limite

$ v_{n}=v_{0}\times q^{n}=4\times 2^{n}=2^{n+2} $

Comme $ u_{n}=v_{n}-3 $ :

$ q=2 > 1 $ donc $ \lim_{n\rightarrow +\infty } 2^{n}=+\infty $, d'où $ \lim_{n\rightarrow +\infty } v_{n}=+\infty $ et finalement :