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Les suites Exercices

Suites – Bac blanc ES/L Sujet 2 – Maths-cours 2018

Durée estimée
10 minutes
Difficulté
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Objectif travaillé

On considère la suite $ (u_n) $ définie par $ u_0=250 $ et, pour tout entier naturel $ n $ :

$ u_{n+1}=0{,}8u_n+60. $
  1. Calculer $ u_1 $ et $ u_2 $.

  2. Compléter l'algorithme ci-après afin qu'il affiche le plus petit entier naturel $ n $ tel que $ u_n \geqslant 290 $.

    Algorithme à compléter pour trouver le plus petit entier n tel que u_n ≥ 290

  3. Soit la suite $ (v_n) $ définie, pour tout entier naturel $ n $, par :

    $ v_n=u_n - 300. $
    1. Montrer que la suite $ (v_n) $ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    2. Exprimer $ v_n $ en fonction de $ n $.

    3. En déduire que pour tout entier naturel $ n $ :

      $ u_n=300 - 50 \times 0{,}8^n. $
  4. À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur affichée par l'algorithme de la question 2.

  5. Une ville organise chaque année un tournoi d'Échecs. En 2016, $ 200 $ joueurs ont participé à ce tournoi. Les organisateurs font l'hypothèse que, d'une année sur l'autre :

    • 20% des joueurs ne reviennent pas l'année suivante,
    • 60 nouveaux joueurs s'inscrivent au tournoi.

    La taille de la salle dans laquelle se déroule le tournoi limite le nombre de joueurs à 320. Les organisateurs vont-ils devoir refuser des inscriptions par manque de places dans les années à venir ? Justifier la réponse.

Corrigé

  1. Pour tout entier naturel $ n $, $ {u_{n+1}=0{,}8u_n+60} $ ; par conséquent :

    $ u_{1}=0{,}8u_0+60=0{,}8 \times 250+60=260 $.

    $ u_{2}=0{,}8u_1+60=0{,}8 \times 260+60=268 $.

  2. L'algorithme peut être complété de la façon suivante :

    Algorithme complété : boucle tant que U<290, avec U=0,8U+60 et N=N+1, affichant N

    (Attention au sens de la condition « Tant que $ {U<290} $ ». On veut que la boucle « Tant que » se termine lorsque $ U \geqslant 290 $ ; on souhaite donc qu'elle continue à s'effectuer dans le cas contraire, c'est à dire tant que $ U < 290 $.)

    1. Pour tout entier naturel $ n $, $ v_{n}= u_{n} - 300 $ ; par conséquent :

      $ v_{n+1}= u_{n+1} - 300 $.

      Comme $ u_{n+1}=0{,}8u_n + 60 $ :

      $ v_{n+1} = 0{,}8u_n+60 - 300 $
      $ \phantom{v_{n+1}} = 0{,}8u_n - 240. $

      Puisque $ v_{n}= u_{n} - 300 $, alors $ u_{n}= v_{n}+300 $. On en déduit :

      $ v_{n+1} = 0{,}8(v_n+300) - 240 $
      $ \phantom{v_{n+1}} = 0{,}8v_n+240 - 240 $
      $ \phantom{v_{n+1}} = 0{,}8v_n. $

      Par ailleurs :

      $ v_{0}= u_{0} - 300=250 - 300= - 50 $.

      La suite $ (v_n) $ est une suite géométrique de premier terme $ {v_0= - 50} $ et de raison $ 0{,}8 $.

    2. La suite $ (v_n) $ étant une suite géométrique :

      $ v_n=v_0q^n= - 50 \times 0{,}8^n $.

    3. D'après les questions précédentes :

      $ u_{n}= v_{n}+300 = 300 - 50 \times 0{,}8^n $.

  4. À la calculatrice, on affiche un tableau de valeurs de la fonction $ x \longmapsto 300 - 50 \times 0{,}8^x $.

    On trouve alors :

    $ u_7 \approx 289{,}51 \quad $ et $ \quad u_8 \approx 291{,}61 $

    L'algorithme affiche le plus petit entier naturel $ n $ tel que $ u_n \geqslant 290 $. L'algorithme affichera donc la valeur 8.

  5. Notons $ a_n $ le nombre de joueurs inscrits au tournoi l'année $ 2016+n $.

    En 2016, 200 joueurs ont participé au tournoi donc $ a_0=200 $.

    Une diminution de 20% correspond à un coefficient multiplicateur de $ {1 - \dfrac{20}{100}=0{,}8} $ ; on ajoute ensuite les 60 nouveaux inscrits.

    On a donc :

    $ a_{n+1}=0{,}8a_n+60. $

    On reconnaît la même relation de récurrence que pour $ (u_n) $. En posant $ b_n=a_n - 300 $, le même calcul qu'à la question 3.a. montre que $ (b_n) $ est géométrique de raison $ 0{,}8 $, de premier terme $ b_0=a_0 - 300=200 - 300= - 100 $.

    On a donc $ b_n= - 100 \times 0{,}8^n $, puis :

    $ a_{n}= b_n+300 = 300 - 100 \times 0{,}8^n $.

    Comme $ 100 \times 0{,}8^n $ est strictement positif pour tout entier $ n $, le nombre $ 300 - 100 \times 0{,}8^n $ est strictement inférieur à 300.

    Quelle que soit l'année, le nombre d'inscrits sera inférieur à 300. Les organisateurs n'auront donc pas à refuser des inscriptions par manque de places dans les années à venir.