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Les suites Exercices

Suites – Bac ES/L Amérique du Nord 2014

Durée estimée
15 minutes
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Objectif travaillé

Afin d'entretenir une forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5% des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.

Le nombre d'arbres de cette forêt est modélisé par une suite notée $ u $ où $ u_{n} $ désigne le nombre d'arbres au cours de l'année (2013+n) .

En 2013, la forêt compte 50 000 arbres.

    1. Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2014.

    2. Montrer que la suite $ u $ est définie par $ u_{0}=50\,000 $ et pour tout entier naturel $ n $ par la relation :

      $ u_{n+1}=0{,}95u_{n}+ 3\,000. $

  2. On considère la suite $ v $ définie pour tout entier naturel $ n $ par $ v_{n} =60\,000 - u_{n} $.

    1. Montrer que la suite $ v $ est une suite géométrique de raison $ 0{,}95 $.

      Déterminer son premier terme.

    2. Exprimer $ v_{n} $ en fonction de $ n $.
    3. En déduire que pour tout entier naturel $ n $, $ u_{n}=10\,000\left(6 - 0{,}95^{n}\right) $.
    4. Déterminer la limite de la suite $ u $.
    5. Interpréter le résultat précédent.
    1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $ u_{n} \geqslant 57\,000 $
    2. Interpréter ce résultat.

    1. On souhaite écrire un algorithme affichant pur un entier naturel $ n $ donné, tous les termes de la suite du rang 0 au rang $ n $. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel.

      Variables : $ A $, $ U $, $ N $ sont des nombres
      Début de l'algorithme : Saisir la valeur de $ A $
        $ N $ prend la valeur $ 0 $
        $ U $ prend la valeur $ 50\,000 $
        Tant que $ U < A $
        $ \quad \quad \quad N $ prend la valeur $ N+1 $
        $ \quad \quad \quad U $ prend la valeur $ 0{,}95 U+3\,000 $
        Fin tant que
        Afficher $ N $
      Algorithme 1
      Variables : $ U $, $ I $, $ N $ sont des nombres
      Début de l'algorithme : Saisir la valeur de $ N $
        $ U $ prend la valeur $ 50\,000 $
        Pour $ I $ variant de 1 à $ N $
        $ \quad \quad \quad U $ prend la valeur $ 0{,}95 U+3\,000 $
        Fin Pour
        Afficher $ U $
      Algorithme 2
      Variables : $ U $, $ I $, $ N $ sont des nombres
      Début de l'algorithme : Saisir la valeur de $ N $
        $ U $ prend la valeur $ 50\,000 $
        Pour $ I $ variant de 1 à $ N $
        $ \quad \quad \quad $Afficher $ U $
        $ \quad \quad \quad U $ prend la valeur $ 0{,}95 U+3\,000 $
        Fin Pour
        Afficher $ U $
      Algorithme 3
    2. Lorsque $ A=57\,000 $ l'algorithme 1 affiche 24. interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

Corrigé

    1. L'année 2014 correspond au rang $ n=1 $. En 2013 ($ n=0 $), la forêt comptait $ 50\,000 $ arbres ($ u_0 = 50\,000 $).
      L'énoncé indique que chaque année, on abat 5 % des arbres et on en replante $ 3\,000 $.

      $ u_1 = 50\,000 - 0{,}05 \times 50\,000 + 3\,000 $
      $ u_1 = 0{,}95 \times 50\,000 + 3\,000 $
      $ u_1 = 47\,500 + 3\,000 = 50\,500 $

      En 2014, la forêt comptera $ 50\,500 $ arbres.

    2. On sait que $ u_n $ est le nombre d'arbres lors de l'année $ (2013+n) $. En 2013 ($ n=0 $), il y a $ 50\,000 $ arbres, donc $ u_0 = 50\,000 $.
      D'une année $ n $ à l'année $ n+1 $, on retranche 5 % des arbres (il en reste donc $ 95\ \% $, soit un coefficient de $ 0{,}95 $) et on ajoute $ 3\,000 $ arbres.
      On a donc bien, pour tout entier naturel $ n $ :

      $ u_{n+1} = 0{,}95u_n + 3\,000 $

    1. Soit $ v_n = 60\,000 - u_n $. Exprimons $ v_{n+1} $ en fonction de $ v_n $ :

      $ v_{n+1} = 60\,000 - u_{n+1} $
      $ v_{n+1} = 60\,000 - (0{,}95u_n + 3\,000) $
      $ v_{n+1} = 57\,000 - 0{,}95u_n $

      Or, de $ v_n = 60\,000 - u_n $, on tire $ u_n = 60\,000 - v_n $. En remplaçant dans l'expression de $ v_{n+1} $ :

      $ v_{n+1} = 57\,000 - 0{,}95(60\,000 - v_n) $
      $ v_{n+1} = 57\,000 - 57\,000 + 0{,}95v_n $
      $ v_{n+1} = 0{,}95v_n $

      La suite $ v $ est donc une suite géométrique de raison $ q = 0{,}95 $.
      Son premier terme est :

      $ v_0 = 60\,000 - u_0 = 60\,000 - 50\,000 = 10\,000 $

    2. Comme $ v $ est une suite géométrique de premier terme $ v_0 = 10\,000 $ et de raison $ q = 0{,}95 $, on a pour tout $ n $ :

      $ v_n = v_0 \times q^n = 10\,000 \times 0{,}95^n $

    3. On sait que $ v_n = 60\,000 - u_n $, donc $ u_n = 60\,000 - v_n $.
      En remplaçant $ v_n $ par son expression trouvée précédemment :

      $ u_n = 60\,000 - 10\,000 \times 0{,}95^n $

      En factorisant par $ 10\,000 $, on obtient :

      $ u_n = 10\,000 (6 - 0{,}95^n) $

    4. Comme $ -1 < 0{,}95 < 1 $, on a $ \lim\limits_{n \to +\infty} 0{,}95^n = 0 $.
      On en déduit par limite de somme et de produit :

      $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 10\,000 \times (6 - 0) = 60\,000 $
    5. À long terme, le nombre d'arbres de cette forêt va tendre vers $ 60\,000 $.

    1. Résolvons l'inéquation :

      $ 10\,000(6 - 0{,}95^n) \geqslant 57\,000 $
      $ 6 - 0{,}95^n \geqslant \dfrac{57\,000}{10\,000} $
      $ 6 - 0{,}95^n \geqslant 5{,}7 $
      $ 6 - 5{,}7 \geqslant 0{,}95^n $
      $ 0{,}3 \geqslant 0{,}95^n $

      Par croissance de la fonction logarithme népérien sur $ ]0\ ; +\infty[ $ :

      $ \ln(0{,}3) \geqslant \ln(0{,}95^n) $
      $ \ln(0{,}3) \geqslant n \ln(0{,}95) $

      Comme $ 0{,}95 < 1 $, alors $ \ln(0{,}95) < 0 $. En divisant par ce nombre, l'ordre de l'inégalité change :

      $ n \geqslant \dfrac{\ln(0{,}3)}{\ln(0{,}95)} $

      À l'aide d'une calculatrice, on trouve $ \dfrac{\ln(0{,}3)}{\ln(0{,}95)} \approx 23{,}45 $.
      Comme $ n $ est un entier naturel, on en déduit $ n \geqslant 24 $.

    2. Cela signifie qu'à partir de l'année $ 2013 + 24 = 2037 $, la forêt comptera au moins $ 57\,000 $ arbres.

    1. L'algorithme qui affiche tous les termes du rang 0 au rang $ n $ est l'algorithme 3.
      En effet :

      • L'algorithme 1 ne demande pas $ n $ et affiche un rang à la fin.
      • L'algorithme 2 n'affiche que le dernier terme calculé (car l'affichage est en dehors de la boucle).
      • L'algorithme 3 affiche la valeur actuelle de $ U $ ($ u_I $) avant de calculer la suivante à chaque passage dans la boucle, et affiche la dernière valeur après la boucle.
    2. La valeur 24 affichée par l'algorithme 1 pour $ A = 57\,000 $ confirme notre résultat de la question 3 : c'est en 2037 que le nombre d'arbres dépassera pour la première fois les $ 57\,000 $ unités.