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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites - Bac ES/L Pondichéry 2014

Exercice 2   (5 points)

Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L

Une association décide d'ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris.

Le centre ouvre ses portes le 1er janvier 2013 avec 115 oiseaux.

Les spécialistes prévoient que 40% des oiseaux présents dans le centre au 1er janvier d'une année restent présents le 1er janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année.

On s'intéresse au nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1er janvier des années suivantes.

La situation peut être modélisée par une suite (un)\left(u_{n}\right) admettant pour premier terme u0=115u_{0}=115, le terme unu_{n} donnant une estimation du nombre d'oiseaux l'année 2013+n2013+n.

  1. Calculer u1u_{1} et u2u_{2}. Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats ?

  2. Les spécialistes déterminent le nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1er janvier de chaque année à l'aide d'un algorithme.

    1. Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l'algorithme 3 permet d'estimer le nombre d'oiseaux présents au 1er janvier de l'année 2013+n2013+n.

      Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu.

      UU est un nombre réel
      ii et NN sont des nombres entiers
      Saisir une valeur pour NN
      Affecter 115115 à UU
      Pour ii de 11 à NN faire
      \quad \quad \quad Affecter 0,6×U+1200,6 \times U+120 à UU
      Fin Pour
      Afficher UU

      Algorithme 1

      UU est un nombre réel
      ii et NN sont des nombres entiers
      Saisir une valeur pour NN
      Pour ii de 11 à NN faire
      \quad \quad \quad Affecter 115115 à UU
      \quad \quad \quad Affecter 0,4×U+1150,4 \times U+115 à UU
      Fin Pour
      Afficher UU

      Algorithme 2

      UU est un nombre réel
      ii et NN sont des nombres entiers
      Saisir une valeur pour NN
      Affecter 115115 à UU
      Pour ii de 11 à NN faire
      \quad \quad \quad Affecter 0,4×U+1150,4 \times U+115 à UU
      Fin Pour
      Afficher UU

      Algorithme 3

    2. Donner, pour tout entier naturel nn, l'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n}

  3. On considère la suite (vn)\left(v_{n}\right) définie pour tout entier naturel nn par vn=un200v_{n}=u_{n} - 200.

    1. Montrer que (vn)\left(v_{n}\right) est une suite géométrique de raison 0,40,4. Préciser v0v_{0}.

    2. Exprimer, pour tout entier naturel n,vnn, v_{n} en fonction de nn.

    3. En déduire que pour tout entier naturel n,un=20085×0,4nn, u_{n}=200 - 85 \times 0,4^{n}.

    4. La capacité d'accueil du centre est de 200200 oiseaux. Est-ce suffisant ? Justifier la réponse

  4. Chaque année, le centre touche une subvention de 2020 euros par oiseau présent au 1er janvier.

    Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1er janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l'on suppose que l'évolution du nombre d'oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période.